现代控制理论总复习定稿版

现代控制理论Professor：李振璧Assistant：邓伟锋安徽理工大学电信学院moderncontroltheory1.线性定长系统非齐次方程的解2.能控标准型和能观标准型的实现3.按照能控性、能观性分解4.李雅普诺夫方法判断系统的稳定性5.状态观测器的设计安徽理工大学电信学院本次课程内容简要：方式：知识回顾+例题演练（速成版----为考试量身打造）1.线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程解的组成：自由运动+强制运动当初始时刻初始状态时，其解为：式中，。（2）安徽理工大学电气系当初始时刻为，初始状态为时，其解为：式中，。证明过程:1.积分法，详见Page-692.拉氏变换法:上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的乘积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得：安徽理工大学电气系)()()0()()(1111ssLsLtBUAIxAIx三种常见的激励及其对应的解（Page-70）1.脉冲响应即当时解为：2.阶跃响应即当时解为：3.斜坡响应即当时解为：例：已知系统状态空间表达式，求1212122()()(0)1,()1()()2()()(0)0xtxtxutxtxtxtutx)(ty)()(1txty解：01,10,2110cbA211)(sssAI22221)1()1(1)1(1)1(2)(sssssssAI安徽理工大学电气系dtutttyt)()()0()()()(0bΦcxcΦcxdeettt0)1(0(1)1tttedettttetteteetsLt)1()1()(11AIΦ安徽理工大学电气系套路总结：•1.先写出系统矩阵A,控制矩阵B,输出矩阵C•2.求解状态转移矩阵：a.由定义求解（难以得到解析式，不推荐）•b.变换系统矩阵为对角阵、约旦阵Page-62（推荐）•c.拉氏反变换法（掌握拉氏反变换公式）（推荐）•d.凯莱-哈密顿定理（Page-66）•3.观察激励是否为冲击、阶跃或者斜坡函数，如果是这三类函数，则求解可以直接套用公式。（Page-70）•4.由以上求解结果通过输出方程，求解输出量。2.能控（观）标准型的实现•对于一个单输入单输出的系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。•只有系统是完全能控（完全能观）才能化成能控（能观）标准型。所以标准型实现的第一步是判断能控和能观性，下面看一下怎么判断能控和能观性。线性定常系统的能控性判别具有约旦标准型（或者变换为约旦标准型）系统的能控性判别1．单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。或式中(2)(1)安徽理工大学电气系安徽理工大学电气系•系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。•在A为对角阵的情况下，如果b的元素有为0的，则系统是不完全能控的•在A为约旦标准矩阵时，只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，系统是不完全能控的。•不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立块。安徽理工大学电气系注意：如果在约旦标准阵中出现两个以上同一特征值有关的约旦块，对单输入系统，系统是不能控的；对多输入系统，则要考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关，如果线性无关，系统才是能控的。安徽理工大学电气系含义：对于：如果行线性无关，则状态能控ubbbbbbbbxxxxx42413231222112114321111101000142412221bbbbbAIW1)()(ssuxu-x间的传递函数阵为：状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重合现象。否则被相消的极点就是不能控的模式，系统为不能控系统。单输入系统，从系统的传递函数阵判断系统的能控性安徽理工大学电气系(Page-44，45)buAxx线性连续定常单输入系统其能控的充分必要条件是由A，b构成的能控性矩阵),,,,(12bAbAAbbMn满秩，即rankM=n.否则，当rankMn时，系统为不能控的。直接从A与B判别系统的能控性1．单输入系统(14)(13)安徽理工大学电气系BuAxx多输入系统，其状态方程为式中，B为nr阶矩阵；u为r维列矢量。其能控的充分必要条件M的秩为n.),,,,(12BABAABBMn(15)2．多输入系统安徽理工大学电气系系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是出矩阵C中没有全为零的列。若第i列全为零，则状态变量xi(t)为不能观的。安徽理工大学电气系在系统矩阵为约旦标准型矩阵的情况下，系统能观的充分必要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列（首列）的元素不全为零。定常系统能观性的判别方法一注意：约旦阵J中没有两个约旦块与同一特征值有关，如果有两个约旦块与同一个特征值有关，则每个约旦块开头的一列（首列）线性无关；安徽理工大学电气系直接通过A和C构造N矩阵1nCACACN系统能观的充要条件rankN=n定常系统能观性的判别方法二判断好系统的能控和能观性之后求解系统的能控标准型和能观标准型1．能控标准I型(1)若线性定常单输入系统：是能控的，则存在线性非奇异变换：安徽理工大学电气系(2)(3)使其状态空间表达式(1)化成能控标准1型：(4)其中(5)安徽理工大学电气系1210111100000000010nnccaaaaATTA称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准I型。其中为特征多项式：的各项系数。安徽理工大学电气系)1,,1,0(nii是cTc1相乘的结果，即cbbAbcbabAbAc11212110)()(nnnnnnaa0111aaannnAI)1,,1,0(niai例将下列状态空间表达式变换成能控标准I型解：方法一，（1）判别系统的能控性系统能控，可以化为能控标准型。120231110010201XXuyX2241616831212rankMrankbAbAbrank安徽理工大学电气系（2）A的特征多项式（3）计算可直接写出：需通过计算得到392IA0122,9,0,,AbC012010010001001290A001b,AbC21212100101cCCTCAbAbb安徽理工大学电气系（4）得到系统的能控标准I型为：还可以直接写出系统的传递函数：012164210000186101012219011001221010321901010000103212901XXuyX2221032321023()92ssssWssssss安徽理工大学电气系若线性定常单输入系统：2.能控标准型(6)相应的状态空间表达式(6)转换成：(7)是能控的，则存在线性非奇异变换：(8)其中(9)安徽理工大学电气系(10)(11)并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准型。式(9)中的是系统特征多项式：的各项系数，亦即系统的不变量。式(11)中的是相乘的结果，即：(12)安徽理工大学电气系例：写出以下传递函数的能控标准II型。611654)(232ssssssG解：)1)(2)(3(1)2(611654)(2232ssssssssssG无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。1,4,56,11,6210210所以：100,611610001010001022102ccBA145][2102cC控标准II型为：安徽理工大学电气系套路总结•先根据M或零极点判别系统的能控性•计算系统的Tc1和Tc2•计算b安徽理工大学电气系CA单输出系统的能观标准型与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即有：系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换：(13)(14)1．能观标准型状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准型和能观标准型，它们分别与能控标准型和能控标准型相对偶。安徽理工大学电气系使其状态空间表达式(13)化成：(15)其中(16)(17)(18)称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准I型。其中是矩阵A的特征多项式的各项系数。安徽理工大学电气系取变换阵：(19)2．能观标准型(20)若线性定常单输出系统：是能观的，则存在非奇异变换(21)安徽理工大学电气系-1使其状态空问表达式(20)变换为：(22)其中(23)(24)(25)称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准型。安徽理工大学电气系例：试将下列状态空间表达式变换成能观标准型xxx100112020113021yu226020100N安徽理工大学电气系解：rank(N)=3，所以系统是能观的。计算系统的特征多项式293AI即a0=2a1=-9a2=0123~1221~100020726100020226100010901226020100100~001~010901200~092100010~12211112112121bTbbTbTTccAAoooo安徽理工大学电气系例：写出以下传递函数的第二能观测标准型。611654)(232ssssssG解：)1)(2)(3(1)2(611654)(2232ssssssssssG无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。1,4,56,11,6210210所以：145,6101101600100100210210ooBA]100[oC第二能观测标准型为：安徽理工大学电气系套路总结•先根据N或者零极点判别系统的能观性•计算系统的To1的逆矩阵和To2的逆矩阵•写出•计算AbC3.按能控性分解设线性定常系统(1)是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：的秩则存在非奇异变换：安徽理工大学电气系(2)目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分。为实现做准备。将状态空间表达式(1)变换为：(3)其中(4)(5)(6)可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中维子空问：是能控的，而维子系统：是