高中数学二项式定理练习题

1选修2-31.3.1二项式定理一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2(n＋1)2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()A．CrnB．Cr＋1nC．Cr－1nD．(－1)r－1Cr－1n3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610B．27C410C．－9C610D．9C4104．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是()A．－4B．－2C．2D．45．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A．3B．5C．8D．106．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．2077．(2009·北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A．3B．4C．5D．68．(2010·陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()A．－1B.12C．1D．229．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112＜x＜15B.16＜x＜15C.112＜x＜23D.16＜x＜2510．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项二、填空题11．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．12．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．14．(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．三、解答题15．求二项式(a＋2b)4的展开式．16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．3(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．41.[答案]B2[答案]D3[答案]D[解析]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4[答案]C[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.5[答案]B[解析]Tr＋1＝Crn(2x3)n－r()1x2r＝2n－r·Crnx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为5.6[答案]D[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.7[答案]D[解析]通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.8[答案]D[解析]Cr5·xr(ax)5－r＝Cr5·a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C45·a＝10，得a＝2.9[答案]A[解析]由T2T1T2T3得C162x1C162xC26(2x)2∴112＜x＜15.10[答案]A[解析]Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r·(32)20－rCr20·x20－r，∵系数为有理数，∴(2)r与220－r3均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.11[答案]－16212[答案]5[解析]解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3·(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)·C13(－1)＝5；解法二：C35(－1)3＋C12·C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.513[答案]2[解析]C36(x2)3·()1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.14[答案]－5[解析](1＋x＋x2)()x－1x6＝()x－1x6＋x()x－1x6＋x2()x－1x6，∴要找出()x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C36＋C46＝－5.15[解析]根据二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.16[解析]由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1.x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.17[解析](1)Tr＋1＝Crn·(3x)n－r·(－123x)r＝Crn·(x13)n－r·(－12·x－13)r＝(－12)r·Crn·xn－2r3.∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3＝0，∴n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝10－3k2＝5－32k.6∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C210·(－12)2·x2，C510(－12)5，C810·(－12)8·x－2.[解析]通项为：Tr＋1＝Crn·(x)n－r·124xr.由已知条件知：C0n＋C2n·122＝2C1n·12，解得：n＝8.记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：tk≥tk＋1且tk≥tk－1.又tr＝Cr－18·2－r＋1，于是有：Ck－18·2－k＋1≥Ck8·2－kCk－18·2－k＋1≥Ck－28·2－k＋2即8！(k－1)！·(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！·(9－k)！≥8！(k－2)！·(10－k)！×2.∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝7·x35和第4项T4＝7·x74.