复变函数与积分变换-第二章

DepartmentofElectronicEngineering第2章解析函数2.1解析函数的概念DepartmentofElectronicEngineering1.复变函数的导数于是邻域内任意一点，对的单值函数，的某邻域内有定义在点设函数zzzzfw00)(，存在（为有限的复数），如果极限Azzfzzfzwzfzzfwzz)()(limlim)()(000000DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》,)(')()(000即，或的导数，记为称为函数处可导，在则称函数zzdzdwzfzfAzzf，zzfzzfzfz)()(lim)('0000DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》0)z(|)(|)(':0zozzfw或)()(')(')(00000处可微。在处的微分，也称函数在函数为或也称zzzfdzzfzzfzdfDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》导数的分析定义：时，有，并且当使得当，可以找到一个整数对任意的||0),(00zzDz,|)()(|00AzzzfzfDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》•导数运算法则•复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：•（1）其中为复常数；•（2）其中为正整数；•（3）；,0)(CC,1nnnzz）（n)()()()(zgzfzgzf)()()()()()(zgzfzgzfzgzf)0)(()]([)()()()()()(2zgzgzgzfzgzfzgzf（4）（5）；DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》（6）；（7）是两个互为反函数的单值函数，且.)(),()(})]([{zwzwfzf其中1()()()()fzwfzzww，其中和0w（）.DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》2.解析的概念DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》)()(00在处解析；称的邻域内处处可导，则及在如果zfzzzf内解析函数；内解析，我们也说是在内处处解析，则称在区域如果DDzfDzf)()(.)(,)(解析内在闭区域那么称上每一点都属于内处处解析，而闭区域在区域如果DzfGDGzfDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注解5、解析性区域；注解：DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》四则运算法则则上解析在区域和如果,)()(Dzgzf上解析，并且有域在区、、Dzgzgzfzgzfzgzf)0)(()()()()()()()(')()()(')]'()([)(')('))'()((zgzfzgzfzgzfzgzfzgzf2)]([)(')()()(')()('zgzgzfzgzfzgzfDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》复合函数求导法则，内解析，又在区域内解析，函数在区域设函数GDfGgwDzf)()()()('))(('))]'(([)('zfzfgzfgzh并且有：在内解析，则复合函数)())((zhzfgwDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》反函数求导法则，又反函数且内解析，在区域设函数0)(')(zfDzf))(('1)('1)(')(wfzfzwz则有：存在且为连续，)()(1wwfzDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。注解：DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》2.2函数解析的充要条件DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》Cauchy-Riemann条件：DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》条件是可导的充要在点内确定，那么在区域设函数定理DiyxzzfDyxivyxuzf)(),(),()(1.3处可微，在点和虚部、实部),(),(),(1yxyxvyxu方程）：程（简称黎曼方满足柯西和、RCyxvyxu-),(),(2xvyuyvxuDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》定理3.1的证明（必要性）：导数的定义，可得：，则由处可导，把记为在设ibazfiyxzzf)(')(|)(|))((|)(|)()()(zoyixibazozibazfzzf实部和虚部整理得：。按，其中yixzviuzfzzf)()(；|)(|),(),(zoybxayxuyyxxu(,)(,)(||)vxxyyvxybxayoz；xvyuyvxu程成立：方处可微，并有在及因此，RCyxyxvyxu),(),(),(DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》程成立，则有方处可微，并有在及设RCyxyxvyxu),(),(),(；|)(|),(),(''zoyyxuxyxuuyx；|)(|),(),(''zoyyxvxyxvvyx:方程可得由RC；|)(|))](,(),([''zoyixyxivyxuviuwxx所以ibayxivyxuxxzwz),(),(lim''0处可导。在即iyxzzf)(定理3.1的证明（充分性）：DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》复变函数的解析条件DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》解充要条件是内区域函数定理Dyxivyxuzf),(),()(2.3处处可微，内在区域和虚部、实部Dyxvyxu),(),(1方程）：程（简称黎曼方满足柯西和、RCyxvyxu-),(),(2xvyuyvxuDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》注解:•和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；•柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；•解析函数的导数有更简洁的形式：yuyvyuxuxvyvxvxuiiiizf)('DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》反例：u(x,y)、v(x,y)如下：000),(),(222222yxyxyxvyxuyxxyDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》方程：满足，则在点令RCzyxivyxuzf0),(),()(00xvyuyvxu.,0)()0,0(),(),(从而不可导不连续在函数不连续，所以复变在点、但zzfyxvyxuDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》有定义，内区域推论：设函数Dyxivyxuzf),(),()(成立：方程，并且四个偏导数存在且连续的和内在如果RCyxvyxuDzf),(),()(xvyuyvxu内解析。在则Dzf)(DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》例1讨论下列函数的可导性和解析性：).sin(cos)((3).;||(2).;Re.12yiyezfzwzwx）（DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》，且，）因为解：（01vxu000,1yvxvyuxu.,Re从而不解析导可在整个复平面内处处不所以立，方程在整个复平面不成所以zwRCDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》且，，所以、,0||)2(22222vyxuyxzw002y,2yvxvyuxux不解析。，因此，在整个复平面上不可导。，；可导，在方程成立，所以处只有在点)()(00)('0)()0,0(zfzfzzfzzfRDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》且，，所以因为,sincos)sin(cos)((3).yevyeuyiyezfxxxcosy,siny,siny,,cosyxyvxxvxyuxxueeee在整个复平面内解析；方程成立，所以四个偏导数连续，并且)(R-CzfDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》).()sin(cos)('zfyiyexvixuzfx事实上，DepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》例2为常数：在内下列条件之一，则内解析，而且满足在区域如果DzfDzf)()(为常数）、（常数；、；、|)(|3)(Re)2(0)(')1(zfzfzfDepartmentofElectronicEngineering2020/3/24《复变函数与积分变换》得，、由证明：0)(')1(yvyuxvxuiizf)(内为常数；在均为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu，0yvxvyuxuDepartmentofElectronicEngineeri