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第三章轴对称问题有限元法平面问题有限元法的基本思路1)用网格将平面结构离散(三角形单元)2)将单元位移表示成节点位移的插值函数(是将有限节点的位移作为未知数)3)通过单元位移表达式求解单元应变及应力1[]21[]2iiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmuabxcyuabxcyuabxcyuAvabxcyvabxcyvabxcyvAeeDDBqSqBLN其中4)利用虚位移原理建立单元平衡方程(单元刚度矩阵)5)生成总刚度矩阵,建立总平衡方程6)处理边界条件(力与位移)7)计算求解节点位移8)处理计算结果(应力和应变分布)TeeeeFBDBqtAkqKqR第一节轴对称问题的定义和特点1、轴对称问题的定义满足三个条件:(1)几何形状对称(2)边界条件对称(3)材料对称2、轴对称问题的应力应变特点特点:应力,应变,位移都是轴对称数学表述:变量与角度无关位移分量:应变分量:应力分量:0,0,/rzrzurTquwTrzrzTrzrz101010112120002TrzrzTuuwwurrzrzDED几何关系:物理方程:第二节轴对称问题有限元法1、结构离散对称结构本身是一个三维结构采用三角形环单元注意与平面三角形单元的区别2、单元分析1)位移函数选取线性位移函数:123456(,)(3-1)(,)urzrzvrzrz(3-2)000000iijjmmiijjmmijjijjTeiijmejmeuNuNuNuwNwNwNwNNNNNNNdNquwuwuwq利用平面问题类似的方方法,将节点坐标和位移代入(3-1),整理后得:或者写成矩阵的形式为:其中:为形函数矩阵为单元节点位移列阵121(33)212,,,,,,iiiijjjjmmmmijmmjijmijmjmiimjmijmimjmmjmijmijNabrczANabrczANabrczAarzrzbzzcrrarzrzbzzcrrarzrzbzzcrr形函数的表达为:其中:2:001,,02,,TeijmlllllllllluuwwuBqrrzrzBBBBBbfBlijmcAcbabrczflijmr)单元应变其中不是常量矩阵1111122123,1-,,21121-2121-eeijmllllllLlllllDDBqSqSSSSbAfAcAbfAcESlijmAbfcAAcAbAA)单元应力其中:3、单元刚度矩阵单元的虚功方程为:若单元的虚位移为则单元的虚应变为:eTeTqFrdrddzeqeeBq22eTeeTTeTTeTeTeeTeeeTeqFqBrdrddzqBrdrddzqFBrdrddzqBDBrdrdzkqkBDBrdrdz消去,得:332ijmijmeTrrrrrzzzzzBSkrBDBAA采用简化算法,用单元截面形心坐标来近似如此和都是常量矩阵为单元截面积实际计算表明:近似计算不仅计算方便,而且同样满足精度要求,因此是可行的。4、总刚度矩阵的集成具体参照第二章的方法形成有限元方程KqR,TccrczeTeeTeTTccPceTeTcPcrzPppqRdPqNPqRNP1)集中力的移置对于单元内任意点上作用的集中力等效节点载荷与原载荷在虚位移上的虚功相等两边约去得:,2sjmisssrsszmjissjmjmPzzbPPpjmlPprrcPPljmrrrr2)面力的移置设单元边作用均布载荷表面力的矩阵为:令000000004eTsPsiTsijmijmisTjmsiiiiRNPrdsbPNNNlrdsNNNcPlrrPbcbc如果作用在边界上的表面力不是均布载荷可将载荷分解为若干组,近似地将每组看作均布分别进行计算,然后叠加。3()001010130101013vrvvzeTcPvTijmipPpvArRArrr)体积力的移置重力设单元密度为,则体积力为:22222()010101031010103vrcvvzTecPvTijmiiprPpArRArrr惯性离心力设单元密度为,角速度为,则体积力为:6、约束处理参见第二章7、求解方程8、处理数据KqR***::=2)13aaabaababbbbaaaabbaaabbKKqRKKqRKqKqRKqRRKq位移约束的处理1)直接代入法可得求解方程变为对角元素改法(0位移))对角元素乘大数法(非0位移)
本文标题:第三章-轴对称问题的有限元法
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