矩阵求逆

第2节矩阵的初等变换与逆矩阵的求法1.2.1线性方程组的同解变换1.2.2矩阵的初等变换1.2.3初等矩阵1.2.4用初等行变换求逆矩阵1.2.1线性方程组的同解变换对于线性方程组，可以做如下的三种变换：（1）互换两个方程的位置；（2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c；（3）将某一个方程加上另一个方程的k倍。这三种变换都称为初等变换。如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次变换把方程组(1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。定理1.1设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。此性质在矩阵中如何体现呢？初等行变换row初等列变换column交换i,j两行数乘第i行数乘第i行加到第j行ijrrikrjirkr交换i,j两列数乘第i列数乘第i列加到第j列ijccikcjickc2.1.2矩阵的初等变换例用矩阵的初等变换解线性方程组1232312302122xxxxxxxx解将矩阵的增广矩阵作行初等变换111002112112312111002110332rr21211101101220332r11100211033212323111022110122370022rrrr32311102211012270013r13231212210035010370013rrrr所以，方程组的解为123257,,333xxx32311102211012270013r1.2.3初等矩阵定义1.9由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种类型:10111101ijijRCijij(1)对调E中的第i,j行，得到的矩阵记为Rij；对调E中的第i,j列，得到的矩阵记为Cij。(2)用不为零的数乘以E中的第i行，得到的矩阵记为Ri()；用不为零的数乘以E中的第i列，得到的矩阵记为Ci()。11()()11iiRkCkk(3)以数乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的矩阵记为Rij()；以数乘以E中的第j列加到第i列上去，得到的矩阵记为Cij()。11()()11ijijRC初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵，容易验证：Rij-1=Rij（Ri()）-1=Ri(1/)（Rij()）-1=Rij(－)初等矩阵与初等变换有什么关系呢？例1计算下列初等矩阵与矩阵A=[aij]3n,A=[aij]32,B=[bij]33的乘积:11121111212122221222313233132311311232111221222122313231321000000110010001nnnnnnaaaaaacaaacacacaaaaaaaacaacaaacaaaaaaaa111211122122212231323131313232333332100001010bbbbbbbbbbbbbbbbbb用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。不难证明下面的一般结论:Ri(c)A表示A的第i行乘c;Rij(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;RijA表示A的第i行与第j行对换位置;BCi(c)表示B的第i列乘c;BCij(c)表示B的第j列乘c加至第i列;BCij表示B的第i列与第j列对换位置.初等矩阵的行列式都不等于零,因此初等矩阵都是可逆矩阵.由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵,即1(),()(),,iiijijijijRRcIRcRcIRRIc所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵,即1111(),()(),iiijijijijRcRRcRcRRc定理1.2有限个初等矩阵的乘积必可逆。矩阵A经过有限次初等变换后得到B，就说A与B等价.记为A~B。可以表示为B=PAQ,其中P是有限次初等行变换所对应的初等矩阵的乘积，Q是有限次初等列变换所对应的初等矩阵的乘积。定理1.3可逆矩阵经过有限次初等变换后的矩阵仍然是可逆阵。证明设A可经有限次初等变换化为矩阵B，则存在初等矩阵P1，P2，…，Pm，Q1，Q2，…，Qn，使得B=P1P2…PmAQ1Q2…Qn成立由于A，Pi，Qj（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）均可逆，所以B可逆。定理1.4可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。证明设A为n阶可逆矩阵。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa因为A是可逆矩阵，所以A第一列不能全为零。这样就可以通过初等变换将第一行第一列的元素变为不等于零。再对第一行第一列乘以适当的系数，可以把第一行第一列的元素变为1。再用适当的倍数加到其他行。使得第一列的其他元素都是零，得到如下形式的矩阵：1212222100nnnnnbbbbBbb有可逆性知b22,…,bn2中至少有一个不为零。（如果不是这样，则将B的第一列乘以（-b12）加到第二列中，则第二列全为零，这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这样就可以通过初等变换将第二行第二列的元素变为不等于零。再对第二行第二列乘以适当的系数，可以把第二行第二列的元素变为1。再将第二行乘以适当的数加到下面各行。得到矩阵：类似地可以证明，C33,…,Cn3中至少有一个不为零。并通过适当的行变换将第三行第三列的元素变为1，气候各行的元素全部变为零。重复下去，最后可以将矩阵A变为上三角矩阵形式：1213123233331010000nnnnnnCCCCCCCCCC1**01*001将此上三角阵的第n行乘以适当参数，加到上面各行中，可以使第n列的非角元素全变为零：第n-1行乘以适当的数，加到上面各行中，可以使第n-1列的非对角元素全变为零；依此类推，最后可以得到单位阵。定理1.5方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积。1213123233331010000nnnnnnCCCCCCCCCC1.2.4用初等行变换求逆矩阵由定理1.5可知，可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵的乘积。设A=P1P2…Pt则有Pt-1…P2-1P1-1A=E且Pt-1…P2-1P1-1E=A-1上面两个式子表明，对矩阵A与E施行同样的行变换，在把A化成单位阵时，E同时就化成A-1。即得Pt-1…P2-1P1-1（AE）（EA-1）用初等变换求逆矩阵：把可逆矩阵A与同阶单位矩阵并行摆放，得到()AE对这个矩阵实施行的初等变换，最终使左半部分变成E，则右半部分就变成1A例1.7设A=解152131341100143010131001251103511001112000125113123rrrr32211/(2)152100152100011/21/21/20011/21/21/200115301001/25/211/21rrr求A－１.3/(1/2)152100152100011/21/21/21011/21/21/20001/25/211/210015112r132312(1/2)(1/2)5101/23/25/20100131011/21/21/2001025100151120015112rrrrrr所以A－1=2115152131注意在求逆矩阵的过程中，初等行变换与初等列变换不能混用。例求矩阵的逆。123221343A解212rr313rr12310022101034300112310002521002630112rr32rr102110025210001111132rr235rr100132020365001111100132350103220011112(2)r3(1)r113235322111A求矩阵321315323A的逆。