《力学》第十章振动和波动

§简谐振动的描述§简谐振动的动力学特征§简谐振动的合成§阻尼振动受迫振动共振1．简谐振动的定义1.1机械振动物体在一定位置附近作来回往复的运动。广义振动：一个物理量随时间t作周期性变化1.2简谐振动)cos(tAx则物体的运动为简谐振动。物体运动时，离开平衡位置的位移（角位移）随时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：2．描述简谐振动的特征物理量2.1周期和频率21,2TT2.3位相与初相t时刻的位相:t+初相:2.2振幅A)cos(tAx3．简谐振动的表示xtoA-AT1）振动表达式：xAtcos()2）振动曲线：3）旋转矢量表示：M0MtPxOAxy振幅：旋转矢量的模A圆频率：旋转矢量的角速度位相：旋转矢量与Ox轴的夹角t+4．简谐振动的速度和加速度速度和加速度作与位移同频率的简谐振动Avm，2Aam速度位相比位移位相超前/2；加速度位相比位移位相超前。)cos(tAx)2cos()sin(tAtAdtdxv)cos()cos(22tAtAdtdvaOTωAvxaAA2AtO例1已知某质点的振动曲线如图所示，求：（1）质点的振动表达式；（2）0t时质点的速度和加速度。x(cm)4-42t(s)2O解：（1）4A，2//24TT4cos()2xt350sin2/1cos0200ttvx54cos()23xt（2）)352sin(2tdtdxv)352cos(2tdtdva0t，)/(3smv，)/(2/22sma练习质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：1.振动表达式。2.t=0.5s时质点的位移、速度和加速度。3.质点从x=-6cm向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。解1.设位移表达式为已知A=0.12m,T=2s1s/2T初始条件t=0时，x0=0.06m,v00)cos(tAx)cos(12.0txm3cos210sin0Av3振动表达式为由初始条件用解析法求初相)cos(tAx)sin(tAvcos12.006.0由v00决定取舍)3cos(12.0txm由初始条件用旋转矢量法求初相当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动OxAA/23315.05.05.0ms189.0)3sin(12.0ddtttttxv25.025.05.0ms103.0)3cos(12.0ddtttttva2.t=0.5s时质点的位移、速度和加速度m104.0)3cos(12.05.05.0tttxyx343.质点从x=-6cm向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。3223x=-6cm向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需要的时间s83.0s6532231t练习两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，向x轴负方向运动时，另一个质点2在x2=0处，向x轴正方向运动。求这两质点振动的相位差。解Ox312,23265)2(321质点1的振动超前质点2的振动651．简谐振动的动力学特征)cos(tAx2222cos()dxaAtxdt2220dxxdt2()Fkxkm2ax1）kxF2）xa23）0222xdtxd结论：简谐振动的动力学特征判别简谐振动的依据1、运动表达式为，其中A、和是常数。)cos(tAx2、作用力的形式为，k为常系数。kxF3、动力学方程可写成，为常系数，其平方根即为角频率。2202d0dxxt弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动2.几种常见的简谐振动2.1弹簧振子Fkx2()kkaxxmm0222xdtxd)cos(tAxFxOkmx周期和频率：由振动系统的固有性质决定kmT22mk212振幅和初相：由初始条件决定0022020xvtgvxAsintmgFmgmgsl2222()0ttFggassmlldssdtcos()sAt振幅很小时，单摆的振动为简谐振动。单摆的振动周期：glT222.2单摆lmgTFtOsOlmgT22ddsintsmmgls22ddsintmlmgsin小幅振动，0dd22lgtlgglT2Rmk0xmgTTfxOxa例2如图所示，已知弹簧的劲度系数为k，物体的质量为m，滑轮的半径为R，转动惯量为J。开始时托住物体m，使得系统保持静止，绳子刚好拉直而弹簧无形变，t=0时放开m。设绳子与滑轮间无相对滑动。(1)证明放开后m作简谐振动；(2)求振动周期；(3)写出m的振动表达式。（1）kmgxkxmg/000()mgTmaTRfRJaRfkxx2/kaxmJR——m作简谐振动（2）222/2/kmJRTmJRk解：（3）)cos(tAxkmgAvkmgxxtt/0/000)cos(tkmgx（2/kmJR）练习质量为m的比重计，放在密度为的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。解取平衡位置为坐标原点平衡点0VgmgV为平衡时比重计的排水体积mgFOx222dd2txmgxdVmg04dd222xmgdtx222dd2txmxdgVgmgmgd2gmdT42Ox222222222222cos()sin()111sin()sin()22211cos()221122kpkpxAtvAtEmvmAtkAtEkxkAtEEEmAkA3.简谐振动的能量FxOkmx221kAE结论：谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程中两者相互转换，但系统的总能：保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。OxtOtpEkE212EkA2kp21kAEEEEkAkxEAxAx4181212222p例题当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解EEEEAx43412k22212121kAkxAx21当时，动能和势能各占总能量的一半。l例题证明复摆的小幅振动是简谐振动，并求其振动周期。OCF解用能量分析法取O点为零势能点)211()dd(21cos21222prkmgltJmglJEEEJ很小)211()dd(2122mgltJE0)dd(dddddddd2222JmgltJtmglttJtE0dd22JmgltJmglmglJT2其振动是简谐振动1.同频率同方向的简谐振动的合成代数方法：111222cos(),cos()xAtxAt22121221112211222cos()sinsintancoscosAAAAAAAAA12112211221122cos()cos()(coscos)cos(sinsin)sincos()xxxAtAtAAtAAtAt旋转矢量合成方法：12Ox2x1xxA2AA12121xxxAAA22121221112211222cos()sinsintansincosAAAAAAAAA2121,)12(,2AAAkAAAk)cos(212212221AAAAA2）结论：1）同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振动同频率的简谐振动。链接)2cos(2cos2)cos(),cos(1212212211ttAxxxtAxtAx2.同方向不同频率的简谐振动的合成1）合振幅随时间变化，形成拍，拍频为=2-12）合振动的“频率”为2/)(21。结论：3．相互垂直的同频率的简谐振动的合成)(sin)cos(2)cos()cos(12212212222122211AAxyAyAxtAytAx──椭圆轨道链接0121242434523474.相互垂直的同频率的简谐振动的合成)cos()cos(222111tAytAx──李萨如图，且yxyxnnTT链接21:0例4-3已知两个简谐振动的表达式分别为122cos(10)22cos(10)xtxt（1）求合振动的表达式；（2）若x3=3cos(10t+)，则为何值时，三振动叠加后，合振动的振幅最大？则为何值时，三振动叠加后，合振动的振幅最小？解：（1）1222mAA34322cos(10)4xt（2）324k时，合振动振幅最大，max(322)mA724k时，合振动振幅最大，min(322)mAxA1A2AO1．阻尼振动1.1阻尼振动：物体在振荡过程中因受阻力的作用而使能量不断损失，振幅不断减小的振动。1.2阻尼振动的定量分析rdxFvdt),2(020202222mkmxdtdxdtxddtdxkxdtxdm044202，即20200cos()txAet其中220。欠阻尼：特点：1）物体在平衡位置附近来回振动，振幅不断衰减：teAtA0)(2）物体振动具有准周期性，准周期：22022T044202，即20222120tptptxeCeCep过阻尼：特点：物体不再作来回振动，而是逐渐靠近并停止在平衡位置。044202，即202tetCCx)(21临界阻尼：特点：质点不再作来回振动，到达平衡位置刚好停下来。txOa：0b：0c：=0阻尼振动cba振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。2．受迫振动2.1受迫振动2.2受迫振动的定量分析阻力：rdxFvdt驱动力：0cosFFt2022200200cos2cos(,,)2dxdxmkxFtdtdtdxdxxftdtdtkHfmmm00cos(')cos()txAetAt其中220'。xOt讨论：1）稳定时，系统按余弦函数作周期性振动：cos()xAt＝2）系统振动的频率等于驱动力的频率。3）系统振动的振幅：022220()4fA4）系统振动的初位相：12202tan()当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。这种现象称为共振。3．共振令0ddA得：02202r2202hArAa：小阻尼b：大阻尼c：零阻尼cba0