4.4电磁感应中的双杆问题分类例析

电磁感应中的双杆问题分类例析“双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类问题进行分类例析1、“双杆”在等宽导轨上向相反方向做匀速运动当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。2.“双杆”在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。3.“双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。【例5】如图所示，间距为l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连接，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为1、b的速度为2。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：（1）t时刻C的加速度值；（2）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率。解析：（1）根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势12()EBlt①回路中感应电流2EIR②以a为研究对象，根据牛顿第二定律TBIlma③以C为研究对象，根据牛顿第二定律MgTMa④联立以上各式解得22122()2()MgRBlaRMm（2）解法一：单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能，所以，t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率，即221211()2BlPBIlR解法二：a棒可等效为发电机，b棒可等效为电动机a棒的感应电动势为1aEBlv⑤闭合回路消耗的总电功率为aPIE⑥联立①②⑤⑥解得221211()2BlPBIlR解法三：闭合回路消耗的热功率为222212()22BlvvEPRR热b棒的机械功率为221222()2BlvvvPBIlvR机故闭合回路消耗的总电功率为PPP热机22121()2BlR说明：在单位时间t内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：【例1】两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B＝0.05T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计．导轨间的距离l＝0.20m．两根质量均为m＝0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R＝0.50Ω．在t＝0时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动．经过t＝5.0s，金属杆甲的加速度为a＝1.37m／s，问此时两金属杆的速度各为多少?本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力．解析：设任一时刻t，两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为vl和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变C物体重力做功C物体重力势能的减少量C物体克服细绳拉力做功C物体动能的增加量细绳拉力对a棒做功a棒克服安培力做功a棒动能的增加量闭合回路消耗的总电能安培力对b棒做正功闭合回路产生的焦耳热b棒动能的增加量模型：a棒可等效为发电机，b棒可等效为电动机△S＝[(x一ν2△t)+ν1△t]l—lχ＝(ν1-ν2)△t由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E＝B△S/△t＝Bι(νl一ν2)回路中的电流i＝E／2R杆甲的运动方程F—Bli＝ma由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量(t＝0时为0)等于外力F的冲量．Ft＝mνl＋mν2联立以上各式解得ν1＝[Ft/m＋2R(F一ma)／B2l2]／2ν2＝[Ft／m一2R(F一ma)／B2l2]／2代入数据得移νl＝8.15m／s，v2＝1.85m／s【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mvmv20根据能量守恒，整个过程中产生的总热量2022041)2(2121mvvmmvQ（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：10043mvvmmv此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：BLvvE)43(10，REI2此时cd棒所受的安培力：IBLF，所以cd棒的加速度为mFa由以上各式，可得mRvLBa4022。【例3】两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属vvBv0Lacdb细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示.不计导轨上的摩擦.（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量.解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：E1=E2=Bdv由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：rEEI221因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。由以上各式并代入数据得22221102.3rvdBFFN（2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为vLrIQ222，代入数据得Q=1.28×10-2J.【例4】如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为12mm、和R1、R2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度0v沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。解法1：设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势)(0vvBlE①感应电流21RREI②杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，gmBlI2③导体杆2克服摩擦力做功的功率gvmP2④解得)]([2122202RRlBgmvgmP⑤解法2：以F表示拖动杆1的外力，以I表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，对杆1有01BIlgmF①对杆2有02gmBIl②外力F的功率0FvPF③以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有01212)(gvmRRIPPF④由以上各式得)]([212202RRlBgmvgmPg⑤【例5】如图所示，在倾角为300的斜面上，固定两条无限长的平行光滑导轨，一个匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度B＝0.4T，导轨间距L＝0.5m。两根金属棒ab、cd平行地放在导轨上，金属棒质量mab＝0.1kg，mcd＝0.2kg，两金属棒总电阻r＝0.2Ω，导轨电阻不计。现使金属棒ab以v＝1.5m/s的速度沿斜面向上匀速运动，求（1）金属棒cd的最大速度；（2）在cd有最大速度时，作用在金属棒ab上的外力做功的功率。说明：（1）分析清楚棒的受力情况和运动情况是解决本题的关键。在第（1）问的分析中，也可以对cd棒的运动方向进行判断，因为不管cd的运动方向如何，它速度最大时mcdgsin300=I’lB式一定成立。直接解mcdgsin300=I’lB、ε＝Blv＋Blvm、I’＝ε/r式，若vm为正值则表示方向沿轨道向下，若为负值则表示方向向上。（2）对第（2）问的求解方法比较多。选研究对象时，可以用“整体法”，也可以用隔离法。求功率时，可以根据定义P＝Fv计算，也可以根据能的转化和守恒定律求解。【例6】如图4所示，金属棒a跨接在两金属轨道间，从高h处以速度v0沿光滑弧形平行金属轨道下滑，进入轨道的光滑水平部分之后，在自下向上的匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为B.在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒b，在a棒从高处滑下前b棒处于静(1）a棒进入磁场后做什么运动？b棒做什么运动？（2）a棒刚进入磁场时，a、b两棒加速度之比.？(3）如果两棒始终没有相碰，a和b的最大速度各多大？(4）在整个全过程中，回路中消耗的电能是多大？[解析]1．a棒在下滑过程中只有重力做正功，动能增加，做加速运动.进入轨道的水平部分后在磁场中运动，因切割磁感应线产生感应电动势，从而在a、b棒与两滑轨组成的闭合回路中产生感应电流，a棒由此而受到向左的安培力Fa作用，运动受阻而开始减速．由于速度变小，感应电动势、感应电流及安培力都在减小，所以a棒的运动性质是加速度逐渐减小的减速运动．与此同时，b棒则受到向右的安培力FB作用自静止起做加速运动．随上述感应电流的减小，受到的FB也会相应减小，所以b棒的运动性质是加速度逐渐减小的加速运动．当a、b两棒速度相等时，回路中磁通量不再变化，因而不再有感应电流产生，a、b棒所受安培力都变为零，自此以后，两棒将以相等的速度——即b棒所能达到的最大速度向右做匀速运动．2．从a棒进入磁场后直到做匀速运动以前，a、b棒都做加速度不断在变化的变速运动.由于是在同一匀强磁场中，回路中的感应电流各处相等，a、b两棒跨接在滑轨之间部分的长度也相等，所以各时刻a、b两棒分别所受的安培力总是等值反向的（Fa=|FB|=ilB）．因此，根据牛顿第二定律,尽管加速度随时间都在逐渐减小,但对于同一时刻来说,300300Bcdbav这一比值则总是确定的．3．a棒进入磁场之初的速度最大，设为va．根据动能定理，在水平轨道上运动过程，由于在两棒与轨道组成的系统中，Fa与FB总是等值反向的，即合外力始终为零，所以这个系统动量守恒．设两棒最后共同运动速度为v'，则有v'也就是b棒的最大速度vB．4．在整个相互作用过程中，回路中的电流总在变化，且回路电阻未知，所以其中消耗的电能E电必须根据能量守恒计算，【例7】如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则A、当B、当C、若导轨足够长，它们最终的速度必相同D、它们最终的速度不相同，但速度差恒定解析:当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合