平面解析几何直线练习题含答案

1直线测试题一．选择题（每小题5分共40分）1.下列四个命题中的真命题是（）A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；B.经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）表示；C.不经过原点的直线都可以用方程1byax表示；D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示。【答案】B【解析】A中过点P0（x0，y0）与x轴垂直的直线x=x0不能用y－y0=k（x－x0）表示，因为其斜率k不存在；C中不过原点但在x轴或y轴无截距的直线y=b（b≠0）或x=a（a≠0）不能用方程byax=1表示；D中过A（0，b）的直线x=0不能用方程y=kx+b表示.评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.2.图1中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2【答案】D【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D.3.两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（）A.A1A2＋B1B2＝0B.A1A2－B1B2＝0C.12121BBAAD.2121AABB=1【答案】A【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－11BA·（22BA）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，00001221BABA或，图12同样适合A1A2＋B1B2＝0，故选A.法二：取特例验证排除.如直线x+y=0与x－y=0垂直，A1A2＝1，B1B2＝－1，可排除B、D.直线x=1与y=1垂直，A1A2＝0，B1B2＝0，可排除C，故选A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.4.若直线l：y＝kx3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.)3,6[B.)2,6(C.)2,3(D.]2,6[【答案】B【解析】法1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围：kkykxyxkxy3232632)32(306323∵交点在第一象限，∴00yx即032326032)32(3kkk解得k∈（33，＋∞），∴倾斜角范围为（2,6）法2：如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，－3），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.5.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【答案】C3【解析】由题意知a≠0，sinB≠0，两直线的斜率分别是k1=－aAsin，k2=Bbsin.由正弦定理知k1·k2=－aAsin·Bbsin=－1，故两直线垂直.评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.6.已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，12）内变动时，a的取值范围是（）A.（0，1）B.（3,33）C.（33，1）∪（1，3）D.（1，3）【答案】C【解析】直线l1的倾斜角为4，依题意l2的倾斜角的取值范围为（4－12，4）∪（4，4+12）即:（6，4）∪（4，3）,从而l2的斜率k2的取值范围为:（33，1）∪（1,3）.评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.7.若直线1xyab通过点(cossin)M，，则（）A．221ab≤B．221ab≥C．22111ab≤D．22111ab≥【答案】D本题是训练思路的极好素材，看能否找到10种解法？8．已知点(1,0),(1,0),(0,1)ABC,直线(0)yaxba将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是（）A．(0,1)B．21(1,)22(C)21(1,]23D．11[,)32【答案】B4二．填空题（每小题5分，共30分）9.过点)3,2(P，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.【解析】错解：设所求直线方程为1xyaa，过点)3,2(P，则有2311aaa∴直线的方程为01yx.错因：少了直线经过原点的情况，故还有xy23，即023yx也适合题意.10.与直线0532yx平行，且距离等于13的直线方程是.【解析】设所求直线方程为032myx，则1332522m，解得18m或8m，∴直线方程为01832yx或0832yx.511.直线l经过点)3,2(P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为.【解析】依题意，直线l的斜率为±1，∴直线l的方程为23xy或)2(3xy，即01yx或05yx.12.在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），则点A和点C的坐标分别为。【答案】(1,0),(5,6)13.光线自点)3,2(M射到点)0,1(N后被x轴反射，则反射光线所在直线的方程为.【答案】330xy14．若ABC的顶点)4,3(A，)0,6(B，)2,5(C，则A的平分线AT所在直线方程为．【解析】如图，在此对图形特征从不同角度给予分析以获得解题思路：法1AB的方程为4(6)432403yxxy，AC的方程为3374(3)444yxyx3470xy设直线AT的斜率为k，则用到角公式可得433443(34)3411()43kkkkkk，解得7k或17k（舍去）所以有47(3)7170yxxy。法23tan4ACk，如图有314tan(45)7314ATk，下略。法3取直线CA,TA,BA的方向向量分别为12(4,3),(1,),(3,4)vvkv，则1212cos43347.vvvvkkkvvvvOABCT456法4设AT上任意一点坐标为（a,b），则43243474324(347)55xyxyxyxy检验，舍去一个即可。三．解答题（满分30分）15．（7分）已知点)2,5(),1,1(BA，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求直线l的斜率.【解析】设直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，依题意有4315)1(22tan，∴43tan1tan22，即03tan8tan32，∴31tan或3tan.由0018020，得00900，有0tan，∴31tan，∴直线l的斜率为31.16.（7分）已知三条直线0,0134,0532ymxyxyx不能构成三角形，求实数m的值.【解析】依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故23m或34m或1m，∴实数m的取值集合是24,,133.17.（8分）已知点)15,2(),5,3(BA，在直线0443:yxl上求一点P，使PBPA最小.【解析】由题意知，点A、B在直线l的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点A关于直线l的对称点'A，然后连结BA'，则直线BA'与l的交点P为所求.事实上，设点'P是l上异于P的点，则PBPABABPAPBPAP''''''.设),('yxA，则0425423314335yxxy，解得33yx，∴)3,3('A，∴直线BA'的方程为05118yx.7由051180443yxyx，解得338yx，∴)3,38(P.18.（8分）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.【解析】（1）当1－2t＞0即0＜t＜21时，如图7—13，点Q在第一象限时，此时S（t）为四边形OPQK的面积，直线QR的方程为y－2=t（x+2t）.令x=0，得y=2t2＋2，点K的坐标为（P，2t2＋2）.tttSSSOKROPQROPQK2)22(21)1(2222)1(232ttt当－2t+1≤0，即t≥21时，如图7—14，点Q在y轴上或第二象限，S（t）为△OPＬ的面积，直线PQ的方程为y－t=－t1（x－1），令x=0得y=t+t1，点L的坐标为（0，t+t1），S△OPL＝1)1(21tt)1(21tt所以S（t）＝21)1(21210)1(232ttttttt附加题（计入总分，每题5分，但总分不超过100分）：1.已知长方形的四个顶点)0,0(A、)0,2(B、)1,2(C和)1,0(D，一质点从AB的中点0P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点1P后，依次反射到CD、DA和AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角）.设4P的坐标为)0,(4x.若412x，则tan的取值范围是（）A.)1,31(B.)32,31(C.)21,52(D.)32,52(【解析】用特例法，取14x，则1P、2P、3P、4P分别为BC、CD、DA、AB的中点，此时21tan.依题图7—13图7—148意，包含21tan的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）.2.在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，求△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数为。【解析】法1：由y=10－32x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－32x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B.法2：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有26176=91（个）图7—2