高考数学复习全套课件 第六章 第七节 数学归纳法(理)

1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是使命题成立的.正整数最小正整数2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n＝时，验证命题成立；(2)假设n＝时命题成立，推证当n＝时命题也成立，从而推出对所有的命题成立.k＋1n0(n0∈N*)k(k≥n0，k∈N*)n≥n0，n∈N*[思考探究]数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推.两者缺一不可.1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.0解析：因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3.答案：C2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，在验证n＝1时，等式左端计算所得的项是()A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析：因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以验证n＝1时，等式左端计算所得的项是1＋a＋a2.答案：C3.利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是()A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1).答案：B4.用数学归纳法证明：，第一步应验证左式是，右式是.解析：令n＝1则左式为1－，右式为.答案：5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间的联系.2.用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的步骤为：(1)找出f(k＋1)与f(k)的递推关系；(2)把归纳假设f(k)＝g(k)代入；(3)作恒等变形把f(k＋1)化为g(k＋1).[特别警示]运用数学归纳法需注意以下几点：①n＝n0时，n0的取值；②两个步骤，缺一不可；③证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设.对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2).[思路点拨][课堂笔记]设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3).∴n＝k＋1时等式也成立.∴由(1)(2)可知，当n∈N*时等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明.[特别警示]如果在数学归纳法证题的过程中，没有运用归纳假设，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，－1＝.求证：当n∈N*时，an＜an＋1.[思路点拨][课堂笔记](用数学归纳法证明)(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1＜a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak＜ak＋1，因为＝(＋ak＋2－1)－(＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0，所以ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立.根据(1)和(2)，可知an＜an＋1对任何n∈N*都成立.把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an＜－1”，其余条件不变，求证：当n∈N*时，an＋1＜an.证明：(1)当n＝1时，因为a2是x2＋x－1＝0的负根，所以a1a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，ak＋1ak，∵＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1ak≤0，∴0，又∵ak＋2＋ak＋1＋1－1＋(－1)＋1－1，∴ak＋2－ak＋10，∴ak＋2ak＋1，即当n＝k＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，当n∈N*时，an＋1an.用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.用数学归纳法证明：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点.则这n个圆将平面分成n2－n＋2个部分.[思路点拨][课堂笔记](1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分.12－1＋2＝2，命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2个部分.当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成了k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，这说明当n＝k＋1时命题也成立.由(1)(2)知，对一切n∈N*，命题都成立.以数列问题为载体,考查用数学归纳法证明现成问题的结论是高考对本节内容的常规考法.2009年陕西高考则以数列问题为载体,考查了“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式，是一个新的考查方向.[考题印证](2009·陕西高考)(12分)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn＋1－xn|≤()n－1.【解】(1)由x1＝及xn＋1＝得x2＝，x4＝，x6＝.由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列.┄┄┄(2分)下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，已证命题成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分)②假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k＋2，易知xk＞0，那么x2k＋2－x2k＋4＝＝＝＞0，(5分)即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立.结合①和②知，命题成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)(2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝，结论成立；当n≥2时，易知0＜xn－1＜1，∴1＋xn－1＜2，xn＝＞，∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋)(1＋xn－1)＝2＋xn－1，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8分)∴|xn＋1－xn|＝||＝|xn－xn－1|()2|xn－1－xn－2|…()n－1|x2－x1|＝()n－1.┄┄┄┄┄┄┄(11分)综上：n∈N*时，|xn＋1－xn|≤·()n－1.┄┄(12分)[自主体验]设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，)都在函数f(x)＝x＋的图象上.(1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5＋b100的值.解：(1)因为点(n，)在函数f(x)＝x＋的图象上，故＝n＋，所以Sn＝n2＋an.令n＝1，得a1＝1＋a1，所以a1＝2；令n＝2，得a1＋a2＝4＋a2，所以a2＝4；令n＝3，得a1＋a2＋a3＝9＋a3，所以a3＝6.由此猜想：an＝2n.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，由上面的求解知，猜想成立.②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时猜想成立，即ak＝2k成立，则当n＝k＋1时，注意到Sn＝n2＋an(n∈N*)，故Sk＋1＝(k＋1)2＋ak＋1，Sk＝k2＋ak.两式相减，得ak＋1＝2k＋1＋ak＋1－ak，所以ak＋1＝4k＋2－ak.由归纳假设得，ak＝2k，故ak＋1＝4k＋2－2k＝2(k＋1).这说明n＝k＋1时，猜想也成立.由①②知，对一切n∈N*，an＝2n都成立.(2)因为an＝2n(n∈N*)，所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100＝68＋24×80＝1988.又b5＝22，所以b5＋b100＝2010.1.如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立.若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析：由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立.答案：B2.设f(n)＝，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝()A.B.C.D.解析：用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然，当自变量取n时，等式的左边是n项和的形式.答案：D3.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A.6＋6·7kB.2＋7k－1C.2(2＋7k＋1)D.3(2＋7k)解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除.(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立.答案：D4.猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为.答案：1－4＋9－…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)5.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝；当n＞4时，f(n)＝(用n表示).解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数.∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n－2).∴f(n