高考数学复习全套课件(理) 第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别叫作它的和，若，则a＋bi为实数，若，则a＋bi为虚数，若，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．实部虚部b＝0b≠0a＝0，b≠0a＝c，b＝d(3)共轭复数：共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔(a，b，c，d∈R)．(4)复平面：当直角坐标平面用来表示复数时，称之为复平面．叫作实轴，叫作虚轴．实轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示非纯虚数．任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是的，与复平面内的向量OZ＝(a，b)也是的．a＝c，b＝－d实数虚数对应对应xy(5)复数的模：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，叫作复数的模或绝对值，记作，即|z|＝|a＋bi|＝.点Z到原点距离|OZ||z|[思考探究]任意两个复数能比较大小吗？提示：不一定.只有这两个复数都是实数时才能比较大小.4.复数的四则运算1.若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A.1B.2C.1或2D.－1解析：由纯虚数的定义知，a2－3a＋2＝0且a－1≠0，∴a＝2.答案：B2.在复平面内，复数z＝对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：答案：D3.已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a等于()A.1B.－1C.1或－1D.±1或0解析：|z1|＝|z2|＝，∴a2＋4＝5，即a＝±1.答案：C4.已知(a－i)2＝2i，其中i是虚数单位，那么实数a＝.解析：(a－i)2＝a2－2ai－1，∴a2－2ai－1＝2i，故得a＝－1.答案：－15.设为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z－＝2i，＝iz，则z＝.解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi，∴z＝－1＋i.答案：－1＋i1.复数的分类(a＋bi)2.处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题.当实数m为何值时，z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内.[思路点拨][课堂笔记](1)若z为纯虚数，则解得m＝3.(2)若z为实数，则解得m＝－1或m＝－2.(3)若z的对应点在第二象限，则解得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3.若将本例中的复数z改为“z＝＋(m2＋5m＋6)i”，如何求解？解：(1)若z为纯虚数，则解得m＝3.(2)若z为实数，则解得m＝－2.(3)若z对应的点在第二象限，则即∴m＜－3或－2＜m＜3.两个复数相等的充要条件是两个复数的实部、虚部分别对应相等.解决相关问题时，常利用复数相等的条件，构造方程组来解决.[特别警示]利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化.解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式.设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z＋2iz＝8＋ai(a∈R).试求a的取值范围.[思路点拨][课堂笔记]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.由(1)知x＜0，y＞0.又z＋2iz＝8＋ai(a∈R)，故(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，∴即4(y－1)2＝36－a2，∵y＞0，∴4(y－1)2≥0，∴36－a2≥0，即a2≤36，－6≤a≤6，又2x＝a，而x＜0，∴a＜0，故－6≤a＜0，∴a的取值范围为[－6,0).1.复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.2.在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.(1)(1＋i)2＝2i；(2)(1－i)2＝－2i；(3)＝i；(4)＝－i；(5)－b＋ai＝i(a＋bi)；(6)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*.计算：[思路点拨][课堂笔记]高考对本节内容的传统考法是：以选择题或填空题的形式考查复数的基本概念、复数相等以及复数的代数运算，09年广东高考则借助复数知识设计出了情境新颖的新定义问题，这是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·广东高考)设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝()A.2B.4C.6D.8【解析】a(i)表示in＝1的最小正整数n，因i4k＝1(k∈N*)，显然n＝4，即a(i)＝4.【答案】B[自主体验]设x、y均为实数，i是虚数单位，复数＋i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x＋yi在复数平面上的点集用阴影表示为下图中的()解析：因为所以由题意得即.画出不等式组表示的平面区域即可知应选A.答案：A1.(2009·辽宁高考)已知复数z＝1－2i，那么＝()解析：由z＝1－2i知＝1＋2i，于是答案：D2.（2009·北京高考）在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由z＝i·(1＋2i)＝－2＋i可得，复数z对应的点位于第二象限.答案：B3.(2009·安徽高考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R),则乘积ab的值是()A.－15B.－3C.3D.15解析：＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－1×3＝－3.答案：B4.定义运算：＝ad－bc，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足＝2，则x＝，y＝.解析：由定义运算知：z－1＝2，∴z＝3.由复数相等的定义得：x＝3，y＝0.答案：305.设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于.解析：令z＝x＋yi，(x，y∈R)，则得或不难得出＝±i.答案：±i6.已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠∅，求整数a、b.解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③由①得a＝－3，b＝±2，经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去.∴a＝－3，b＝2.由②得a＝±3，b＝－2.又a＝－3，b＝－2不合题意.∴a＝3，b＝－2.③中，a，b无整数解不符合题意.综合①、②得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.