高考数学复习全套课件(理)第八章 第六节 椭圆

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3．了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想．1．对椭圆定义的理解2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)图形标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)性质范围≤y≤≤y≤≤x≤≤x≤对称性对称轴：对称中心：－aa－bb－aa－bbx轴、y轴(0,0)标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)性质顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0,a)(－b,0)(b，0)2b2a标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)性质焦距|F1F2|＝离心率e＝∈a，b，c的关系c2＝2c(0,1)a2－b2[思考探究]椭圆的离心率与椭圆的形状有什么关系？提示：离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．1．椭圆＝1的焦距等于2，则m的值为()A．5或3B．8C．5D．16解析：当m4时，m－4＝1，m＝5；当m4时，4－m＝1，m＝3.答案：A2．设P是椭圆＝1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由题意知a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.答案：D3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对解析：由题意知b＝3，又e＝，得a＝5.∴c＝＝4，∴焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.答案：C4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是____________．解析：椭圆方程化为＝1.焦点在y轴上，则＞2，即k＜1.又k＞0，∴0＜k＜1.答案：(0,1)5．已知P为椭圆＝1上一点，M、N分别为圆(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最大值为__________．解析：依题意，两圆圆心分别为椭圆的两焦点F1和F2，则|PM|≤|PF1|＋1，|PN|≤|PF2|＋1，故|PM|＋|PN|≤|PF1|＋1＋|PF2|＋1＝10＋2＝12.答案：121.利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．2．求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(ab0)或＝1(ab0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．[特别警示]当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为＝1(m0，n0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)．(2009·上海高考)已知F1、F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[思路点拨][课堂笔记]设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2，∴＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.[答案]3在例1条件下，求使|PF1|＋|PF2|最小时椭圆的方程.解：由例1知，|PF1|·|PF2|＝18.∴|PF1|＋|PF2|≥2＝6，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取“＝”此时a＝3.∴椭圆方程为＝1.1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆＝1，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0e1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a、b的关系：e2＝＝1－(2009·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＝1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．[思路点拨][课堂笔记]由题意结合图形得，：＝1，即－bx＋ay＝ab，①lB1F：＝1，即bx－cy＝bc，②由①②求得：y＝，代入②得：x＝，∴T()，则OT中点M()．又∵M在椭圆上，∴＝1，即4c2＋a2＋2ac＋c2＝4a2－8ac＋4c2，c2＋10ac－3a2＝0，∴e2＋10e－3＝0.又∵0＜e＜1，∴e＝2－5.[答案]2－5把椭圆方程＝1(ab0)与直线方程y＝kx＋b联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有：1．Δ0，直线与椭圆有两个公共点P、Q，此时弦长求法：(1)求P、Q两点的坐标，利用两点间距离公式；(2)由根与系数关系得到弦长公式|PQ|＝2．Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点．3．Δ0，直线与椭圆无公共点．[特别警示]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．(2009·辽宁高考)已知，椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．[思路点拨][课堂笔记](1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为＝1.因为A在椭圆上，所以＝1，解得b2＝3，b2＝(舍去)．所以椭圆方程为＝1.(2)设直线AE的方程为：y＝k(x－1)＋，代入＝1，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4(－k)2－12＝0.设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点A(1，)在椭圆上，所以xE＝，yE＝kxE＋－k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代替k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.所以直线EF的斜率kEF＝即直线EF的斜率为定值，其值为.椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容．椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容，而直线和椭圆的位置关系则是高考考查的热点.09年高考全国卷Ⅱ以椭圆为载体，综合考查椭圆和直线方程的性质，点到直线的距离公式，向量的坐标运算等基础知识，将解析几何与平面向量的问题有机结合起来，进一步考查考生综合解题的能力，是一个新的考查方向．[考题印证](2009·全国卷Ⅱ)(12分)已知椭圆C：＝1(ab0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.(1)求a，b的值；(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【解】(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为，故，c＝1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)由e＝，得a＝，b＝┄┄┄(4分)(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)由(1)知C的方程为2x2＋3y2＝6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝k(x－1)．C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)，且2(x1＋x2)2＋3(y1＋y2)2＝6，整理得2＋3＋2＋3＋4x1x2＋6y1y2＝6.又A、B在C上，即2＋3＝6,2＋3＝6.故2x1x2＋3y1y2＋3＝0.①(8分)将y＝k(x－1)代入2x2＋3y2＝6，并化简得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，于是x1＋x2＝，x1·x2＝，y1·y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝.代入①解得，k2＝2.此时x1＋x2＝.于是y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－，即P()．因此，当k＝－时，P()，l的方程为x＋y－＝0；当k＝时，P()，l的方程为x－y－＝0.┄┄┄┄┄┄┄┄┄(11分)②当l垂直于x轴时，由＝(2,0)知，C上不存在点P使成立．综上，C上存在点P()使成立，此时l的方程为x±y－＝0.┄┄┄┄┄┄(12分)[自主体验]已知椭圆C：(m＞0)，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．(1)是否存在k，使对任意m＞0，总有成立？若存在，求出所有k的值；(2)若(m3＋4m)，求实数k的取值范围．解：(1)椭圆C：＝1，c2＝＝m2，c＝m，∴F(m,0)，直线AB的方程为：y＝k(x－m)．由消去y，得(10k2＋6)x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则x1＋x2＝，x1x2＝，则xM＝，yM＝k(xM－m)＝若存在k，使总成立，M为线段AB的中点，∴M为ON的中点，∴＝2.∴＝(2xM，2yM)＝()，即N点的坐标为()．由N点在椭圆上，则：即5k4－2k2－3＝0，∴k2＝1或k2＝－(舍去)．故存在k＝±1，使对任意m＞0，总有成立．(2)＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－m)(x2－m)＝(1＋k2)x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝(1＋k2)·－k2m·＋k2m2＝.由(m3＋4m)，得≤－2.即k2－15≤－20k2－12，k2≤，∴－≤k≤且k≠0.1．已知椭圆＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：由题意：焦距为4，则有m－2－(10－m)＝，解得m＝8.答案：D2．椭圆＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A．2B．4C．6D．8解析：如图，|ON|＝|MF2|＝×(10－2)＝4.答案：B3．(2010·淄博模拟)设椭圆＝1(ab0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能解析：由题意知：x1＋x2＝－坐标原点到P(x1，x2)的距离为d2＝＝(x1＋x2)2－2x1x2＝∵e＝，a＝2c，∴d2＝1d22，∴1d，∴点P在圆内．答案：A4．已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．解析：设正方形边长为2，由题意知，c=1，a=答案：5．过椭圆＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：设直线方程为y＝2(x－1)．由得3y2＋2y－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴|y1－y2|＝，∴S△OAB＝答案：6．(2010·辽宁师大附中模拟)已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为，左焦点为F(－1,0)的椭圆C上，已知共线，共线，(1)求椭圆C的方程；(2)试用直线PQ的斜率k(k≠0)表示四边形PMQN的面积S，求S的最小值．解：(1)设椭圆方程为＝1(ab0)，则a2＝b2＋c2，又依题意知c＝1，所以a＝，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)依题意，易知PQ与MN垂直且相交于点F.设PQ的方程为y＝k(x＋1)，由消y得，(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.设P(x1，y1)，