学而思四年级奥数等差数列进阶PPT

科目：四年级奥数教师：张宗诚大家，晚上好！！！等差数列什么是等差数列？？？？定义：一列数中，每相邻两个数之间的差是定值的数列是等差数列.等差数列的认识1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。2.数列中数的个数称为项数。3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。4.例如：1、3、5、7、9、…、97、99，这是一个首项为1、末项为99、项数为50、公差为2的等差数列。练习1：2,5,8,11,14......32,35.练习2：10,20,30,40......1100练习3:99,97,96,95......2,1等差数列我们要学些啥？分为四种类型：（1）先来后到（2）点兵点将（3）对号入座（4）求和速算又一波精彩内容马上呈现。各位看官，且听我一一讲来！先来后到题型1：找规律(1)1,3,5,7,9,(),()(2)0,5,10,15,20,(),().(3)100,96,92,88,84,(),().题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的等差数列（1）写出该数列的前5项。（2）写出该数列的后5项。【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之间差是定值。【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问（1）这个数列中第20个数是多少？（2）85是这个数列的第几个数？（3）这个数列一共有几项？（4）将数列中所的数加起来，和是多少？解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81（2）根据项数公式可知n=(85-5)÷4+1=21(3)根据项数公式可知n=(145-5)÷4+1=36(4)根据求和公式知：和=(5+145)×36÷2=2700点兵点将，对号入座【技巧总结】求公差，计算两项之间有几个公差！公式应用：通项公式：第n项=首项+（项数n-1）×公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1练习1：一个等差数列是6、13、20、27、…678(1)它的第30项是多少？(2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几项解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209(2)项数=（末项-首项）÷公差+1=（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89（3）项数=（末项-首项）÷公差+1=（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97【例题2】一个等差数列的第4项为21，第6项为33。求它的第8项。【思路导航】步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。步骤二：公差=（33-21）÷2=6，首项=21-3×6=45步骤三：第8项=3+（8-1）×6=45。【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差，是解此类等差数列问题的一种方法。练习2：一个等差数列的首项是12，第6项是27。求公差。解：第6项比首项多5个公差。公差=（27-12）÷5=15÷5=3例3.7个连续奇数的和是147，其中最大的奇数是几呢解：中项定理：和=中间数×项数中间数=和÷项数计算中间数第4个数，计算第7个数所以147÷7=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面三项是23，25，27练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？例4，某学校有304个小朋友围成若干个圆（一圈套一圈）做，已知最内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的相差多少人？分析：本题实际上是求公差解：这一等差数列的和是304，首项24，末项52，先根据公式：和=（首项+末项）×项数÷2，求出项数：304×2÷76=8，再根据公式末项=首项+(n-1)×公差，求出公差52-24）÷7=4练习：牛牛读一本550页的故事书，第一天读了30页，最后一天读70页，每天读的页数刚好构成等差数列。那么每一天比前一天多读几页？例4建筑工地有一批砖，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，每层都比上一层多4块砖，已知最下层有402块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？解：方法1，如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14…，容易知道这是一个等差数列。402是第(402-2)÷4+1=101层，中间一层是第（101+1）÷2=51层，那么中间一层有2+（51-1）×4=202块。这堆砖共有202×101=20402方法2：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均数，所以中间层有（402+2）÷2=202块，层数(402-2)÷4+1=101层，。这堆砖共有202×101=20402练习：8个连续自然数的和是164，其中最小的数是多少？例1.计算：1+3+5+7+9=1+3+5+7+9+11=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+......+99+100=练习1：2+4+6+8+10+12+......+98+100=练习2：99+97+95+93+91+......+3+1=拓展练习1：5+10+15+20+......95+100=求和速算技巧总结：先求数列项数=（末项-首项）÷公差+1再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2例5计算1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+36+37+39+40的和是多少？分析：双重等差数列---跳着看---分离出两个等差数列----分别计算求和----计算总和方法1：拆项，把原数拆成1+4+7+…+40和3+6+9+…+39两个等差数列，分别求和得287，273，所以原式=287+273=560方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原式=820-260=560方法3：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个新的数列1+7+13+…+79,求和得560练习5计算2+3+7+8+12+13+17+18+…+32+33+37+38方法1：拆项，把原数列拆成2+7+12+…+37和3+8+13+…+38两个等差数列，求和得320方法2：合并，将原数列中从2，3开始，每两个连续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个新的数列5+15+25+…+75，求和得320例题6：1，2，4，7，11，16，22，29，37，…,问这列数的第101个是多少？分析：二级等差数列—找规律----相邻两数找差------差是连续自然数-----用连续自然数表示数解：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数差是2，第四个数与第三个数相差3…以此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加1，因此有以下规律：第1个数：1=1第2个数：2=1+1第3个数4=2+2=1+1+2第4个数7=3+4=1+1+2+3第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6+。。。+100=5051有一列数：1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，问这列数中的第100个数是多少？小结等差数列的认识：1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。2.数列中数的个数称为项数。3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。等差数列的题型解题技巧：1.通项：第n项=首项+（项数n-1）×公差2.求公差=(M项-N项)÷(M-N)3.求两项之间相差几个公差4.求项数=（末项-首项）÷公差+15.求和:首项+末项）×项数÷2作业为课后练习1,2,3,45，6加油！再见谢谢