学而思奥数2016秋季班提高班第3讲讲义

四年级秋季提高班第3讲作业图形计数进阶作业1数一数，下图中有多少个三角形？【答案】30个【分析】共有3层，每层都有432110个，故共有10330个.作业2左图中有__________个三角形；右图中有__________个三角形．【答案】35；43【分析】左：1515535；右：355343作业3下面的图形中有多少个长方形？【答案】60个【分析】长有3216种，宽是432110种，故共有61060个长方形.作业4下图中包含有“好未来”三个汉字的长方形有多少个？来未好【答案】18个【分析】3618个.作业5图中有__________个（可旋转可翻转）．【答案】34个【分析】对应到中，每个小长方形内有2个，所以有21734个．复习巩固作业6观察5*255560，7*477777777778638，推知9*5的值是__________．【答案】111105【分析】原式999999999999999111105作业7某班有3个小组，赵、钱、孙三人分属不同的小组．这次语文考试成绩公布，情况如下：赵和第3小组的那位成绩不一样，孙比第1小组的那位成绩低，三人中第3小组的那位比钱分数高：若赵、钱、孙三人按语文成绩由高到低排列，正确的顺序是__________．【答案】赵、孙、钱【分析】赵不属于第3小组，钱也不属于第3小组，所以孙属于第3小组，孙比第1小组的成绩低，且比钱的分数高，所以赵是第1小组的，分数最高，钱分数最低．作业85个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得__________分．【答案】12【分析】前4队3胜7负，所以第5个队只能4场全胜，12分．四年级秋季提高班第3讲练习册答案图形计数进阶同步练习1．35个。左边15个，右边15个，左右结合有5个.2．22个按大小分类（边长为1、2的三角形），共有16622个三角形；方法二：“向右”的三角形有8311个，故“向左”的三角形也有11个，共有22个.3．100个，有(4321)(4321)100个平行四边形.4．30个左下可选3个点，右上可选10个点，则共有31030个.5．（1）43213434（）个；（2）新增的三角形以新产生的线段为边，上半部分有639个，下半部分有4个，总共新增9413个；有341347个；（3）又新增一条一样的线段，所以边长在这条线段上三角形也有13个，边长同时在这两条新增线段上的三角形总共有4个；所以图中总共有三角形341313464个.6．36个中心正方形内有84416个，其外有8412个，“跨界”的有8个，故共有1612836个.深化练习7．38个添线法，原有10个，添上右倾的斜线增加了10414个，再添上左倾的斜线，增加了634114个，所以共10141438个．最后添左倾斜线时，为保证不重不漏，可将这条斜线以外的每个交点与斜线形成的新三角形个数标在点上，最后相加得到总数，如下图，共增加了63514个三角形．1111060138．添线法，1520253590．9．85由2个例2（1）的图构成，新增加含4块的三角形有10个，含8块的三角形有5个，所以共35210585个.实战练习10．20个按大小分类枚举（正放：面积为1、4的正方形；斜放：面积为2、5的正方形），共有826420个正方形.阶段测试1．1*2=121=32．原式=101102103104105(12345)1015101503．依题意，*2224,AAAAA4*3=8+3=11,AAAAA11*4=22+4=26,AAAAA26260,10.AA得4．图中共有19+11+5+1=36个正方形.5．观察图形可知，在题述图形中由实线和虚线构成的长方形各有9个，共计9+9=18个.6．个数=6×8=48（个）.7．“甲已经赛了4盘”，说明甲与乙、丙、丁、小强各赛了1盘(小强与甲赛了1盘)“丁赛了1盘”，肯定丁只与甲比赛.“乙赛了3盘”，说明乙与甲、丙、小强各赛了1盘(小强与乙赛了1盘).现在已经知道，丙赛的2盘是与甲、乙各赛了1盘，所以，小强赛了2盘.8．四个人循环比赛总共比赛5×4÷2=10（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是10×2=20（分）．9．每场平局两队共得2分，如果分出胜负则两队共得3分．6支球队共要比65215场比赛，其中有4场平局，所以有15411场分出了胜负，那么6支球队总得分为2431141分，由于有5支球队共得了31分，所以第6支球队得了413110分．10．法一：四人共赛6局，总分为6212（分），因为没有人全胜，所以得分最高的选手最多是两胜一平得5分，因此在另外的3局比赛中：如果全部是平局，则4个人的分数只能分别为5，3，2，2，就会出现分数相同的情况，如下左图（图中箭头表示有胜负，箭头指向输者，虚线表示平局）如果有2局是平局，则可以出现满足条件的情况：4人分数分别为5，4，2，1，如下右图②③②⑤DCBA④①②⑤DCBA所以至少有3局是平局．法二：四人共赛6局，如果6局都是平局，那么四人总分相同，不合题意．如果有5局平局，那么除有胜负的两人外，另两人总分相同，不合题意．如果有4局平局，那么可分为三种情况：一个人胜两局，输的两个人总分相同；一个人输两局，胜的两个人总分相同；四个人中两人胜两人负，两个胜的人总分相同，两个负的人总分相同，都不合题意．3局平局是可能的，如下图所示，连线表示平局，箭头指向的一方为负方，图中数字为各人总分．②④①⑤四年级秋季提高班第3讲图形计数进阶例1图（1）中有__________个三角形；图（2）中有__________个三角形；图（3）中有__________个三角形；图（4）中有__________个三角形．(1)(2)(3)(4)【答案】30；20；37；50【分析】（1）151530；（2）增加一条线，线上面增加3个三角形，线下面增加2个三角形，153220个；（3）在（1）、（2）的基础上增加2个三角形，305237个；（4）在（3）的基础上增加633113个，所以共371350个．【随堂练】（1）图中有多少个三角形（2）图中有多少个三角形（3）图中有多少个三角形【答案】（1）20个（2）30个（3）27个拓展5图（1）有__________个三角形；图（2）有__________个三角形；图（3）有__________个三角形．(1)(2)(3)【答案】34；47；64【分析】（1）43213434（）个；（2）新增的三角形以新产生的线段为边，上半部分有639个，下半部分有4个，总共新增9413个；有341347个；（3）又新增一条一样的线段，所以边长在这条线段上三角形也有13个，边长同时在这两条新增线段上的三角形总共有4个；所以图中总共有三角形341313464个.例2图（1）有__________个三角形；图（2）有__________个三角形．(1)(2)【答案】35；29【分析】（1）分类枚举，含1块、2块、3块、5块的分别有10、10、10、5个，共有101010535个；（2）以去掉的线为边的三角形有6个，所以剩下35629个；练一练下图中有多少个三角形？(3)【答案】47【分析】以新增的线为边的三角形左右两边各6个，所以共有356247个．拓展9数出下图中三角形的个数.【答案】85【分析】由2个例2（1）的图构成，新增加含4块的三角形有10个，含8块的三角形有5个，所以共35210585个．例3（1）图中有__________个长方形．（2）下图中含“★”的长方形有多少个？★（3）下图中含两个“★”的长方形有多少个？★★【答案】150；54；54【分析】（1）长方形邻边对应：一条水平线段和一条竖直线段可确定一个长方形．根据乘法原理可知，长方形有123451234（）（）1510150个.（2）长方形两点对应：只要确定对角的两个顶点就可以确定一个水平的长方形，就像在电脑桌面上拖动鼠标选中文件一样．这种对应法专门用来解决包含某个区域的长方形个数．如下图所示，★的左上角有6个点，右下角有9个点，根据乘法原理，共有6954个长方形.★（3）同（2），包含两个★的长方形有9654个．★★【随堂练】1．图中有多少个长方形【答案】10660个2．图中有多少个包含“心”的长方形【答案】4624例4在下图45的方格中：（1）有__________个；（2）有__________个（可旋转可翻转）；（3）有__________个（可旋转可翻转）；（4）有__________个（可旋转可翻转）．【答案】（1）12；（2）48；（3）17；（4）34【分析】特殊图形的对应：可将特殊图形对应到能包含自身的最小长方形中．（1）4312个；（2）对应到中，每个田字格内有4个，所以有41248个；（3）横向的有339个，纵向的有248个，共9817个；（4）对应到中，每个小长方形内有2个，所以有21734个．【随堂练】图中有多少个【答案】66224（）练一练下图中，共有__________个（可旋转可翻转）．【答案】30【分析】图中有7个田字格，4728个，注意左上角与右下角还各有1个，共28230个．例5用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如下图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于2平方厘米的三角形有多少个？面积等于1平方厘米的三角形有多少个？【答案】8；32【分析】（1）面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6（个）1×2=2（个）所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8（个）．（2）面积等于1平方厘米的分类统计如下：3×2×4=24（个）2×4=8（个）面积等于2平方厘米的三角形有8个；面积等于1平方厘米的三角形有32个．练一练13枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的点阵.用一根橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等．请回答：可以构成多少个正方形？【答案】11【分析】按大小分类枚举（正放：面积为1、4的正方形；斜放：面积为2、8的正方形），共有415111个正方形.拓展1016枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的点阵.用一根橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等.请回答：可以构成多少个正方形？【答案】20【分析】按大小分类枚举（正放：面积为1、4的正方形；斜放：面积为2、5的正方形），共有826420个正方形.拓展练习拓1☆数一数下图中，有多少个三角形？【答案】35个【分析】左边15个，右边15个，左右结合有5个.拓2☆☆图中共有多少个三角形？【答案】22个【分析】按大小分类（边长为1、2的三角形），共有16622个三角形；方法二：“向右”的三角形有8311个，故“向左”的三角形也有11个，共有22个.拓3☆☆下面的图中共有多少个平行四边形？【答案】100个【分析】有(4321)(4321)100个平行四边形.拓4☆☆下图中有多少个同时包含2个五角星的长方形？★★【答案】30个【分析】左下可选3个点，右上可选10个点，则共有31030个.拓5☆☆☆图（1）有_________个三角形；图（2）有_________个三角形；图（3）有_________个三角形．(1)(2)(3)【答案】34；47；64【分析】（1）43213434（）个；（2）新增的三角形以新产生的线段为边，上半部分有639个，下半部分有4个，总共新增9413个；有341347个；（3）又新增一条一样的线段，所以边长在这条线段上三角形也有13个，边长同时在这两条新增线段上的三角形总共有4个；所以图中总共有三角形341313464个.拓6☆☆☆下图中有多少个三角形？【答案】36个【分析】中心正方形内有84416个，其外有8412个，“跨界”的有8个，故共有1612836个.拓7☆☆☆下图中有多少个三角形？【答案】38个【分析】添线法，原有10个，添上右倾的斜线增加了10414个，再添上左倾的斜线，