68考研辅导-概率论与数理统计

1概率论与数理统计概率论与数理统计这一章可以分为概率论和数理统计两部分，基本思想是用随机的思想来研究随机现象的统计规律性。其内容是学习随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等知识。在研究生入学考试中，本章是《高等数学一》、《高等数学三》和《高等数学四》的考试内容。通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1、对于随机事件，特别是随机变量及其分布函数、二维随机变量及其联合分布函数应该有清晰的概念。2、对于随机性的方法能运用自如。3、具备对实际问题理解能力，定性分析和定量计算相统一的能力和推理、演绎的逻辑思维能力。一、知识网络图事件的运算和概率计算加法公式、乘法公式、条件概率公式随机事件和概率以及全概率公式和贝叶斯公式的应用事件独立性的判定，古典概型、几何概型问题概率分布和分布函数的性质和计算随机变量及其分布函数离散型和连续型随机变量的计算问题随机变量的函数的分布的求法二维离散型和连续型随机变量概率分布的计算二维随机变量取某范围值的概率概率论二维随机变量及其联合分布函数二维离散型随机变量函数的分布的求法二维连续型随机变量函数的分布的求法离散型和连续型随机变量的数字特征正态分布的数字特征的计算随机变量的数字特征随机变量的独立性、相关性和相关系数切比雪夫不等式数字特征的应用大数定律大数定律和中心极限定理中心极限定理数理统计的基本概念矩估计点估计数理统计参数估计最大似然估计区间估计假设检验，主要是正态总体未知参数的假设检验2二、典型错误分析例1．若P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(AB)=1/4,求P(B|A),P(BA),P(BA)。[错解].P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2P(BA)=1-P(AB)=3/4P(BA)=P(A)+P(B)-P(AB),其中P(AB)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P(BA)=（1-1/2）+1/3-1/12=3/4[分析]在求P(BA)时，想到利用摩根率是对的，但摩根率是ABAB，故P(BA)=)(1)(BAPBAP，所以上边的解题是错误的。[正确解].P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2P(BA)=)(1)(BAPBAP=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-1/2-1/3+1/4=5/12P(BA)=P(A)+P(B)-P(AB),其中P(AB)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P(BA)=（1-1/2）+1/3-1/12=3/4例2.一个家庭中有两个小孩，如果已知老大是女孩，则老二也是女孩的概率为多大？如果已知其中有一个女孩，则另一个也是女孩的概率是多大？[错解].12{}{}AA记老大是女孩，老二是女孩，则有12AA和独立，且121()()2PAPA，于是2121(|)()2PAAPA，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率为12；对第二问，由于生男与生女是相互独立的，故已知其中有一个是女孩，另一个也是女孩的概率也是12。[分析]一般假设各胎生男与生女是独立的且可能性相同。第一问是比较容易解决的，关键是要注意第二问与第一问的区别，在第二问中条件事件是理解为至少有一个是女孩。3[正确解].12{}{}AA记老大是女孩，老二是女孩，则有12AA和独立，且121()()2PAPA，于是2121(|)()2PAAPA，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率为12；对第二问，条件事件是“两个孩子至少有一个是女孩”，相应求事件就可以表述为“两个孩子均为女孩”，问题于是归结为求1212(|)PAAAA，由12121213()1()1(()144PAAPAAPAPA，1212111()()()224PAAPAPA，于是12121/41(|)3/43PAAAA，即已知其中有一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率为13。例3.设随机变量X的概率密度为()xxAfxee，试求：（1）常数A及X的分布函数；（2）在两次独立观察中，X都取小于0的数值的概率。[错解](1)由于0lim()xfx=1，即0lim12xxxAAee，故A=2,则X的分布函数为1()2arctan|2arctanxxxxxxFxdxeeee(2)设两次观察中X取小于0的次数为，则(2,)bp，其中(0)(0)8pPF，于是所求得概率为22(2)64Pp。[分析]解本题目的关键是要熟练的应用概率密度函数的性质，即()1fxdx，来求出常数A，而错解中所用到的性质是错误的，故影响了下面的解题。[正确解](1)由概率密度的性质知2()arctan|112xxxxxAefxdxdxAdxAeAeee，所以2A,4则X的分布函数为2122()arctan|arctanxxxxxxFxdxeeee(2)设两次观察中X取小于0的次数为，则(2,)bp，其中1(0)(0)2pPF，于是所求的概率为21(2)4Pp。例4.(X,Y)的联合概率分布如下表所示：XY-2-11214014140140014证明X,Y之间不相关。[错证]边缘概率分布如下：X-2-112P14141414Y14P014因为(2,1)(2)(1)PXYPXPY，所以X与Y不相互独立，所以X与Y不相关[分析]不相关和独立的关系是：独立一定不相关，但不相关不一定不独立，故上边的证明是错误的。[正确证明]边缘概率分布如下：X-2-112P141414145Y14P014可得到50,,02EXEYEXY，则0XY，所以X与Y不相关，例5.设随机变量X服从区间)1,1(上的均匀分布，随机变量Y服从二项分布B(3,31)，且X与Y的相关系数为0.5，求U=X+Y与V=X-2Y的相关系数。[错解]因为EX=0,EY=1，故E(X+Y)=EX+EY=1,E(X-2Y)=EX+2EY=2又因为DX=2111()123,DY=2/3,E（UV）=-3-62,所以()XYDUDXYDXDYDXDY=1+26,同理可求DV=3-32,故cov(,)0.387UVUVDUDV[分析]解本题的关键是要记准公式和常用分布的期望和方差，上面的解题过程就是由于没有正确地运用公式和结论，因而是错误的。[正确解]由题意知EX=0,DX=2111()123,EY=np=1,DY=np(1-p)=2/3，从而有E(U)=E(X+Y)=EX+EY=1，E(V)=E(X-2Y)=EX-2EY=-2，E（UV）=-3-62,故COV（U，V）=EUV-EUEV=621，()2XYDUDXYDXDYDXDY=1+32，同理可求DV=3-232,则带入可求的699.0),cov(DUDVVUUV6例6.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是______[错解]D(3X-2Y)=3DX-2DY=8[分析]由于X和Y相互独立，则协方差为0，故可以得到公式22(32)3(2)94DXYDXDYDXDY。所以上面的解题是错误的。[正确解]由于X和Y相互独立，则协方差为0，故可以得到公式22(32)3(2)94DXYDXDYDXDY=44例7.设随机变量X的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(XPXPXP。（1）写出其分布函数；（2）求X的期望与方差。[错解]（1）由分布函数的定义知()()FxPXx(1)0.21(1)(2).512(1)(2)(3)123(1)(2)(3)13PXxPXPXoxPXPXPXxPXPXPXx=0.210.5121xx其他（2）3.25.033.022.01)(31iiipxXE9.55.033.022.01)(2223122iiipxXE61.0)3.2(9.5)()()(222EXXEXD。[分析]上面在解第一问的过程中，区间的划分是错误地。由于离散型随机变量在单点处的概率不一定为零，而我们所规定的分布函数是右连续的，故在求离散型随机变量的分布函数时，区间的划分就很关键。第二问容易犯的错误就是不能正确的应用公式和计算错误。[正确解]（1）由5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(XPXPXP，可知，7当1x时，0)()(xXPxF当21x时，2.0)1()()(XPxXPxF当32x时，5.03.02.0)2()1()()(XPXPxXPxF当x3时，)3()2()1()()(XPXPXPxXPxF15.03.02.0xxxxxF31325.0212.010)(即X的分布函数。（2）3.25.033.022.01)(31iiipxXE9.55.033.022.01)(2223122iiipxXE61.0)3.2(9.5)()()(222EXXEXD。例8.设X服从参数为2的指数分布，试求Y=1-Xe2在[0，1]上服从的分布。[错解]由题意知X的密度函数为22,0()0,0xXexfxx，从而有Y在[0,1]上的密度函数为222()(1)(1)(2)xxxYYfyfeee[分析]上面的解题过程错在直接将X的密度函数带入求Y的密度函数，Y实际上是X的函数，在求随机变量的函数的分布时，一般采用先求函数的分布函数的方法，而不是直接求密度函数。[正确解]由X的分布可见其有效取值范围是[0，+∞],则Y的有效取值范围是[0，1]，从而：当y0时，F(y)=0;当y1时，F(y)=1;当0＜y1,F(y)=P(Yy)=P{1-Xe2y}=P{X)1ln(21y}=1-)]1ln(21[2ye=1-(1-y)=y对F(y)关于y求导数即得Y的密度函数：其他,010,1)(yyf故Y在[0，1]上服从均匀分布。8例9.设总体X的概率分布为X012P132其中（01/3）是未知参数，利用总体X的如下样本观测值：1，0，1，2，1，求的矩估计值和极大似然估计值。[错解]0(13)1225EX,012355x,解方程5EXx，得到的矩估计值325；似然函数为21()(13)(2)2(13)niiLPXx，对数似然函数为lnln2ln(13)2lnL，解方程ln32013dd，得到的极大似然估计值为23[分析]上面的解题思路是对的，但在解题过程中要注意的是，x是求样本的观测值而不是求总体的观测值，故上面的解题过程中求矩估计值是错误的，另外，似然函数是根据取出的样本值得到的，而不是根据总体值得到的，故所求得极大似然估计值也是错误的。[正确解]0(13)1225EX,1012115x,解方程5EXx，得到的矩估计值15；似然函数为341()(13)(2)2(13)niiLPXx，对数