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学习目标：1）通过实际问题，借助直观（如直方图），了解正态分布曲线和正态分布；2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；3）会查正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X在某范围内的概率；高二数学选修2-3、正态分布与正态曲线若总体密度曲线就是或近似地是函数：,,21222xexfx的图象前课复习注：1)正态分布由参数μ,σ唯一确定.μ,σ分别表示总体的均值和标准差；2)其函数图象称为正态曲线；3)此总体是有无限容量的抽象总体。xf的图象称为正态曲线。则其分布称为正态分布,常记作：2,~NX（1）当=时,函数值为最大.（3）的图象关于对称.（2）的值域为（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf2、正态曲线的图像特征μ]21,0(（-∞，μ]（μ，+∞）正态曲线=μx,,21222xexfx012-1-2x-33X=μσy、正态曲线的性质22()21(),(,)2xxex（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交;（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;（4）曲线与x轴之间的面积为1;（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)1σ2π（5）若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数;（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.、标准正态曲线当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要地位。任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题。221(),(,)2xfxex五、标准正态分布表由于标准正态总体在正态总体的研究中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”见附表1.1,0N前课复习表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即：0x0x)(0x,00xxPx如图中，直线x=x0左侧阴影部分：5、标准正态分布表由于标准正态曲线关于轴对称，表中仅给出了对应与非负值的值。y0x0x如果那么由下图中两个阴影部分面积相等知：00x.100xx前课复习利用标准正态分布表，可求出标准正态总体在任一区间内取值的概率。21,xx12xxp即，可用如图的蓝色阴影部分表示。公式：前课复习即事件在一次试验中几乎不可能发生。◎小概率事件的含义：假设检验思想在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率不足0.3%,即ξ几乎不可能在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值,人们常把这一点作为数理统计中的基本原则之一,称为“3σ”原则.(小概率事件)假设检验的基本思想如下三步：进行假设检验可归结为而言的，假设检验是就正态总体(3.,3).2)a确定一次试验中的取值是否落入内.(3,3);(3,3)3..)aa作出判断如果，接受统计假设如果，就拒绝统计假设知识补充.1)..N提出统计假设统计假设里的变量服从正态分布（，）2示例1.查表求下列各值：(0.5)、(2.3)、(1.45)0.30850.98930.0735例题讲解示例2.灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ(单位:h),已知ξN(1000,302),要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.7％,问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？解：因为灯泡寿命ξN(1000,302)，故ξ在(1000330,1000+330)内取值的概率为99.7％，即在(910,1090)内取值的概率为99.7％，故灯泡的最低使用寿命应控制在910h以上.例3.假设某市今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，现有25000名考生，计划招生10000名，试估计录取分数线.解：设分数线为，则分数超过的概率应为录取率，即4.02500010000)(xP100500xy令4.0)100500(yP则6.0)100500(4.01)100500(yP查表得(0.25)0.5987，故25.0100500∴525故录取分数线估计为525分.例题讲解例4.某市农民年均收入服从=500元，=20元的正态分布.(1)求此市农民年均收入在500元520元间人数的百分比;(2)若要使农民的年均收入在(a,+a)的概率不少于0.95，，则a至少为多大？解：设表示此市农民年均收入，则N(500,202))20500500()20500520()520500()1(P=(1)(0)=0.3431即此市农民年均收入在500元520元间人数约为34.31%95.0)20()20()()2(aaaaP95.0)]20(1[)20(aa则例题讲解95.01)20(2a即：975.0)20(a96.120a即：2.39a某人从城市南郊某地乘公共汽车前往北郊火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布（，）；第二条路线沿环城公路走，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布（，）（）若只有分钟可用，问应走哪条路？（）若只有分钟可用，又例应走哪条路？例题讲解972202105070105001050707001.P）（）（）（）（）（赶到的概率为：）走第一条路线，及时（为行车时间解：设993805246070450046070700.）（）（）（）（）（到的概率为：走第二条路线，及时赶.P.条路线在这种情况下应走第二某人从城市南郊某地乘公共汽车前往北郊火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布（，）；第二条路线沿环城公路走，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布（，）（）若只有分钟可用，问应走哪条路？（）若只有分钟可用，又例应走哪条路？例题讲解93320511050656502..P).(）（）（）（的概率为：走第一条路线及时赶到.8944025146065650..P）（）（）（的概率为：走第二条路线及时赶到.走第一条路线因此，在这种情况下应练习1:设随机变量ξ∽,且P(ξ≥-2.5)=0.6915,P(ξ≤3.5)=0.8413,求μ与σ.),(2N解:;6915.0)5.2()5.2(1)5.2(P.8413.0)5.3()5.3(P.4,5.0;5.352{,15.35.05.2{故即查表得课堂练习练习2:公共汽车的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的,如果某地成年男子的身高ξ∽N(173,72)(cm),问车门应设计多高?解:设公共汽车的车门的设计高度为x(cm),由题意,需使P(ξ≤x)99%.因为ξ∽N(173,72),所以.99.0)7173()(xxP查表可得(x-173)/72.33,所以x189.31.即公共汽车的车门的设计高度为190cm,可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.课堂练习练习3:某次抽样调查结果表明,考生的英语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,求考生的英语成绩在60至84之间的概率.解:考生的英语成绩ξ∽N(72,).2;023.0)7296(1)96(1)96(PP则：.977.0)24(查表可得24/σ=2,所以σ=12,故ξ∽N(72,122)..6826.018413.021)1(2)]1(1[)1()1()1()127260()127284()8460(P课堂练习∴考生的英语成绩在60至84之间的概率为0.6826；课堂练习练习4.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（1）试问此次参赛的学生的总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少？分；）约为人；（约为答案：832526)1()了解正态分布的广泛应用性.2)知道正态分布的参数μ,σ对正态曲线的形状与位置的影响;若ξ~N(μ,σ2),则:E(ξ)=μ,V(ξ)=σ2.3)会利用标准正态分布表计算一般正态分布的概率,会计算实际问题中的有关正态分布的概率.4)在已知总体是正态分布时,会用μ,σ2,估计总体在区间内的概率.5)了解正态分布在的广泛应用性.(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率很小,通常认为小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.从而了解假设检验.课堂小结补1:设ξ∽N(1,),(1)试求:P(0ξ≤2),P(5ξ7),P(ξ≥2.3);(2)求常数c,使P(ξ≥c)=2P(ξ≤c).22解:(1);3830.016915.02)]5.0(1[)5.0()210()212()20(P;0214.09773.09987.0)2()3()215()217()75(P注:与前一概率相比,区间长度相同,但概率有很大不同,这也是正态分布的特性之一..2578.07422.01)65.0(1)213.2(1)3.2(1)3.2(PP(2).14.043.021,31)21(131)21(1)21(3)21(2)21(1)(2)(ccccccccPcP查表得注:对任一正态分布,有.),(2N)()(xxP补充2:某贫困山区居民家庭收入可以认为是服从正态分布,现调查10户,得各户的人均收入为(单位:元/户):97.89,102.14,143.20,151.30,103.43,88.90,144.20,120.34,123.34,131.64.试以95%以上的可靠性估计该地区居民家庭收入的平均值的所在范围.解:22221(97.89102.14143.20131.64)120.65(,101[(97.89120.65)(102.14120.65)(131.64120.65)]107.815.2.795.xSSQ元）在正态分布N(μ,σ2)中,μ为总体均值,σ为总体的标准差,故可用分别来估计μ、σ.Sx、由于正态总体在(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率为95.4%,故以(120.65-2×2.795,1