极坐标计算二重积分

极坐标系下二重积分的计算二、二重积分的极坐标转化及计算一、极坐标与直角坐标系的关系什么是极坐标?在平面内取一个定点O，引一条射线OX，这样就建立了一个极坐标系。叫做极点。叫做极轴,对于平面内任一点M,记|OM|=r,XOrM（r，）就叫做点M的极坐标。∠XOM=,平面上任一点一一对应（r，）)4,2(:如)20,0(r一、极坐标与直角坐标系的关系sincosryrxxyryxtan222两坐标系中变量间关系：设积分区域D为平面有界区域,并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个,则区域D被分割情形见下图.sin,cos,rrfyxf二重积分中被积函数求极坐标下的积分元素d的表示方法。二、二重积分的极坐标转化及计算1、二重积分的极坐标转化图中分割的其中一小块的面积为2211()22rrr略去高阶无穷小(,)(cos,sin).DDfxydxdyfrrrdrd则有xyokkkkrrk21().2rrr21(),2rrr,故d=rdrd.于是,二重积分.)sin,cos()()(21drrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(二、极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形1、区域特征如图,).()(21rADo)(2r)(1rDdxdyyxf),(D：)(2r)(1rAoDD0()(cos,sin).dfrrrdr2、区域特征如图,0().r)(rAoDD：Ddxdyyxf),(Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020drrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd3、区域特征如图).(0r,20DA()roDdxdyyxf),(Drdrdrrf)sin,cos(例1将D),(dyxf化为在极坐标系下的二次积分。1）xyo22422yxxyo4xyx4224）D2）xyo222422yxDxyo2222422yx3）DD1）xyo22422yx解：D在极坐标系中，闭区域D可表示为.20r,20Ao22rD),(dyxfDdrdrrrf)sin,cos(.)sin,cos(2020drrrrfd2）在极坐标系中，闭区域D可表示为.20r,0D),(dyxfDdrdrrrf)sin,cos(.)sin,cos(200drrrrfdAo22rxyo222422yxDD),(dyxf.)sin,cos(2020drrrrfdAo22r3）在极坐标系中，闭区域D可表示为.20r,20DDdrdrrrf)sin,cos(xyo2222422yxDAo2cos4r4）在极坐标系中，闭区域D可表示为.cos40r,22D),(dyxfDdrdrrrf)sin,cos(.)sin,cos(cos4022drrrrfd22xyo4xyx422D例2求D:x2+y2R2(R0).22(),Dxydxdy2200Rdrrdr解在极坐标下D:0rR,02.4.2R利用极坐标计算二重积分22()Dxydxdy例3求D:x2+y22ax(a0).22,Dxydxdy解积分区域D如图,在极坐标下D:0r2acos,.2222Dxydxdy2cos2200adrdr332.9aDxyO2a3202(2cos)3ad例4求(a0).22220aaaxxdxxdy解积分区域D见图,采用极坐标计算,原式=2sin204cosadrrdrDxyO22a33248sincos3ad234481sin34a31.2a例5求的值.20xedx解考虑区域D:0x+,0y+,记.420xIedx22200xyIedxedy22xyDedxdy2200rderdx20.2xIedx故小结掌握极坐标系下二重积分的计算方法,化二重积分为极坐标下的二次积分,并注意运算技巧.