离散型随机变量及其分布

1为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道X取每个值的概率.为此我们有以下定义：如果随机变量的取值是有限个或可数个(即能与自然数的集合一一对应），则称该变量为离散型随机变量。§2.2离散型随机变量及其分布律2定义设X是一个离散型随机变量，它可能取值为并且取各个值的对应概率为即,,,,,21kxxx,,,,,21kppp),2,1()(kpxXPkk则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又称分布律。分布律也可以通过列表表示：其中第一行表示随机变量所有可能的取值，第二行表示这些取值所对应的概率。Xkxxx21Pkppp2130kp且11kkp则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布律。分布律的性质,2,1,0kpk非负性11kkp规范性反过来，假如有一列数满足kp4例1如右图所示，从中任取3个球。取到的白球数X是一个随机变量。X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为106)1(351223CCCXP101)0(3533CCXP103)2(352213CCCXP0.10.60.3210Xkp其分布律为5例2某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数分布列.解:显然，X可能取的值是1,2,…，于是ppAAPXP)1()()2(21pAPXP)()1(1设={第发命中}，，k,2,1kkAppAAAPXP2321)1()()3(6,2,1,)1()(1kppkXPk类似地，有这就是求所需射击发数X的分布列.对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。称服从参数为的几何分布。pX7例3进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。解:m=1时,,...2,1,)1(}{1kppkXPkm1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m-1次}8(1)0–1分布X=xk10Pkp1-p0p11,0,)1()(1kppkXPkk注其分布律可写成常见的离散型随机变量的分布凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合0–1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.9(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若nkppCkXPkPknkknn,,1,0,)1()()(则称X服从参数为n,p的二项分布，记作),(~pnBX0–1分布是n=1的二项分布10二项分布的取值情况设),8(~31BX.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456788,,1,0,)1()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273•由图表可见,当时，32或k分布取得最大值273.0)3()2(88PP此时的称为最可能成功次数kxP•0•1•2•3•4•5•6•7•81124680.050.10.150.20.2512设)2.0,20(~BX.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，4k分布取得最大值22.0)4(20P0.22•1351015200.050.10.150.214二项分布中最可能出现次数的定义与推导可取的一切值若XjjXPkXP),()(则称为最可能出现的次数knkppCkXPpknkknk,,1,0,)1()(记1)1()1(1knpkpppkk1)()1)(1(1knpkpppkkpnkpn)1(1)1(15当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着n的增大，其取值的分布趋于对称当(n+1)p整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值16例4独立射击5000次,每次命中率为0.001,例4解(1)k=[(n+1)p]49955550005000)999.0()001.0()5(CP1756.0=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.17(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)(1)1(1)1(0)PXPXPX00500050001(0.001)(0.999)C.9934.0小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.※18?)20,,1,0(20.20,2.0.1500,一级品的概率是多少只中恰有只元件问只现在从中随机地抽查品率为级已知某一大批产品的一小时的为一级品用寿命超过某种型号电子元件的使按规定kk分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理..2020,重伯努利试验只元件相当于做检查试验否为一级品看成是一次把检查一只元件看它是例519解,20只元件中一级品的只数记以X),.,(~2020BX则因此所求概率为.,,,,).().(}{201080202020kkkXPkk012.0}0{XP058.0}1{XP137.0}2{XP205.0}3{XP218.0}4{XP175.0}5{XP109.0}6{XP055.0}7{XP022.0}8{XP007.0}9{XP002.0}10{XP时当11,001.0}{kkXP20图示概率分布21).(~,,,,,,!}{,,,,PXX.kkekXPk记为布的泊松分服从参数为则称是常数其中值的概率为而取各个的值为设随机变量所有可能取0210210(3)Poisson分布22例6设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。解:由题意,23在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；24都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为Poisson流,在长为t的时间内出现的质点数Xt~P(t)可见泊松分布的应用是相当广泛的，而且由下面定理可以看到二项分布与泊松分布有着密切的联系。泊松定理在二项分布中，如果),(npnB0(limnnp是常数），则成立).,1,0(!)1(limkekppCkknnknknn25例7某种药品的过敏反应率为，今有20000人使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数不超过3的概率。0001.0解以表示20000人中发生过敏反应的人数，则服从二项分布，所求的概率为：)0001.0,20000(BXX85713.018064.027068.027067.01352.0)3,0001.0,20000()2,0001.0,20000()1,0001.0,20000()0,0001.0,20000()3()2()1()0()3(PPPPXPXPXPXPXP26如果利用近似公式)(!)1(npekppCkknkkn计算，可以得到：，且20001.020000)3()2()1()0()3(XPXPXPXPXP23222120!32!22!12!02eeee85712.013534.03193192e比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。27例8设一只昆虫所生虫卵数为随机变量X,例7设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.已知X~P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为p.求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数Y的概率分布.28解：昆虫X个虫卵Y个幼虫已知,2,1,0,!)(kkekXPkkmppCkXmYPmkmmk,,2,1,0,)1()(,2,1,0,)()(mkXmYmklklXkX,)()(由全概率公式29)()()(kXmYPkXPmYPmkmkmmkmkkppCke)1(!mkmkmkmpmkmpe)1()!(!)(sssmsmkpsmpe)1(!!)(0令)1(!)(pmempe,!)(mpemp,2,1,0m)(~pPY故