三余弦定理与三正弦定理

1.设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB(cos∠BAC和cos∠OAB只能是锐角）通俗点说就是，斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角1的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值．三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）定理证明：如上图，自点O作OB⊥AB于点B，过B作BC⊥AC于C，连OC，则易知△ABC、△AOC、△ABO均为直角三角形．OAACABACOAABcos,cos,cos2121coscoscos辅助记忆：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角1是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。2.设二面角M－AB－N的度数为，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为，和平面N所成的角为，则sin=sin·sin（如图）三正弦定理定理证明：如上图，过C作CO⊥平面N于点O，过O作直线OB⊥二面角的棱于点B，连OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC均为直角三角形．于是，sin=ACCO，sin=BCCO，sin=ACBCsin=sin·sin如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！例1如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)例2已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考试题，难度系数0.28)例3．已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角A-BD-C(如图6)．(1)求异面直线AC与BD所成的角；(2)求二面角A-CD-B的大小．