第一节---一阶线性微分方程Cauchy问题的求解

第一节一阶线性微分方程Cauchy问题的求解一、一阶线性微分方程Cauchy问题的求解:思路：先求方程(1)的通解，后由(2)确定任意函数。)2()()0,()1(),(),(),(),(xxutxDutxCutxButxAtx下面来介绍方程是常系数的情形：)()0,(),(2432RxexuRtxtuuxtx例1：解：由第二章得到方程的通解为241)34(),(ttxftxu通解法xxexfexfxu212)()4()0,(所以得到该Cauchy问题的解为：.41),(2)34(21tetxutx代入条件得到：例2：)4()0,()3(222xyxexuxuuu解：得到：代入的特解为：设)3(),()3(xuuxuux2dxxeeCexudxdxdx222)(41212xCex4121xu取yyxeyxfuuuu)2(022的通解为4121)2()3(xeyxfuy的通解为故式得到：代入)4(xexxfxu24121)2()0,(xexxf4141)(4121412412xeeeeyxuyyxyy故问题的解为412112412xeeyxyxy二、一阶线性方程的Cauchy问题的求解：)()0,(),(),(),(),(xxutxDutxCutxButxAtx（5）cxtxBdttxAdx)0(),(),(（6）称(6)为(5)的特征方程，其解称为(5)的特征线。思路：利用(6)将(5)转化为常微分方程的初值问题先求特征线上点对应的函数关系，任意化即可。特征线法（变系数的也适合)例3：光滑)()()()0,()0,(000xRxxxtRxaxt解：特征方程为：cxadxdt)0(1特征线为：catctx),(沿着特征线),,(ctxxtctxtU),,()(满足以下常微分初值问题：)()0,()0),0(()0(00ccxUtaxtdtdxxdtdU)()),(()(0cttxtU该式表明在特征线),(),(0ctxcatctx),(上的点，使得而对于平面上的任何点),(tx都在某条特征线上，,确定由catxc所以原Cauchy问题的解).()(),(00atxctx启发：找所要求的解在特征线上对应的函数，而平面上的任何点都在某条特征线上，只是常数不同而已，但又由该点本身决定，将常数用点的坐标换掉即可。例4：光滑连续可微)()()()0,(0)()0,(0)()(00xRxxxxvtRxxvxvxt解：特征方程为：cxtxvdxdt)0())((1特征线为：),,(ctxx沿着特征线),,(ctxxtctxtU),,()(满足以下常微分初值问题：)()0,()0),0(()0()),(()),((0ccxUUctxvtctxvxtdtdxxdtdUtdcxvectU0)),((0)()(),(cxxccxcxcxvdxxvxvecectU),(),(|)(ln0)()(0)()()()),((cxvddx)),(()()(0ctxvcvc),(ctxx上的点，使得该式表明在特征线,)),(()()()()),,((),(0ctxvcvctUtctxtx而对于平面上的任何点),(tx都在某条特征线上，,),(确定由ctxxc所以原Cauchy问题的解为))),(,(()),(()),(()),(()()(),(00txtxvtxvtxctxvcvctx解得：),,(txc设特征线法总结：（求解一阶线性微分方程Cauchy问题）step1:求特征线),,(ctxxstep2:沿着特征线求tctxutU),,()(满足的常微分初值问题，并求出.),,()(tctxutUstep3:从特征线解出),,(ctc则所求解为.)),,(,(),(ttxtxutxu00)()()()(yxyxqyxpxydsesqeyxydpxxdpsxxx)()(000)()(