分布参数系统的建模与仿真

LOGO第5章分布参数系统的建模与仿真陈无畏合肥工业大学机械与汽车工程学院系统建模与仿真5.1分布参数系统的数学描述定义：系统的状态变量、控制变量和被控变量不仅仅是时间的函数，而且是空间坐标的函数。表示及描述方法：系统的模型表示为偏微分方程、积分方程或是偏微分—积分方程，通常使用偏微分方程来描述系统。5.1分布参数系统的数学描述(续）对于确定型的偏微分方程，采用一阶描述形式，可以用以下表达式(5.1)(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)现对上述表达式中的有关符号说明如下,,,0,zbpztz0,0zz,,,,yztgpzt,,,,0hpuzt01,,,,,,,,,,kiiiFpztFpztfpuzttz5.1分布参数系统的数学描述（续）(1)自变量：常微分方程中自变量只有时间变量t，而在偏微分方程中，其自变量除了时间外，还有空间自变量；(2)输入变量及输入段集合：映射；(3)因变量：，且是z与t的函数；tTzZuU:(,)ZTUuzt5.1分布参数系统的数学描述（续）(4)式(5.2)确定边界条件，表示Z的边界，在上随时间变化满足该等式；(5)式(5.3)表示初始条件，即规定初始时刻在域内的值；(6)输出变量是空间和时间的函数；(7)式(5.5)规定了约束条件。zzyYz5.1分布参数系统的数学描述（续）当然，在某些情况下，系统是以高阶偏微分方程的形式给出。一般说来，经过适当变换，高阶偏微分方程可以转换成一阶偏微分方程组。5.1分布参数系统的数学描述（续）偏微分方程的典型形式椭圆方程抛物方程双曲方程5.1分布参数系统的数学描述（续）(1)双曲方程典型的有对流方程(5.6)波动方程(5.7)(2)抛物方程典型的有扩散方程(5.8)对流-扩散方程(5.9)(3)椭圆方程典型的有泊松方程(5.10)22222uuaqtxuuaqtx22uuuabqtxx22uubqtx2222uuqxy5.1.2分布参数系统模型的数学特征分布特性：从动力学特性看，集中参数系统的解算子形成一个群，而分布参数系统的解算子一般只有半群的性质；从系统结构看，集中参数系统只有集中控制和集中测量，而分布参数系统有分布控制和分布测量、点控制和点测量、边界控制和边界测量。5.1.3分布参数模型的有限差分法有限差分是对偏微分方程进行数值分析的近似方法。常用方法之一就是中心差分法。假设，当t=常值时，如图5-1所示为一连续曲线按照中心差分法，点的斜率可用下式表示nP(,)yfxt5.1.3分布参数模型的有限差分法（续）11|2nnnyyyxh(5.11)hhnx1nx1nx1ny1nyny,nnnPxyxy图5-1有限差分定义5.1.3分布参数模型的有限差分法（续）对于二阶导数也可采用同样的方法得到，于是可得以下偏导数表示式21,1,1,,1,222,1,1,1,,12221,11,11,11,122,22,24ijijijijijijijijijijijijijijfffffffxhxhfffffffyhyhfffffxyh5.1.3分布参数模型的有限差分法（续）为了计算方便，可以用一张二维网格图来表示，如图5-2所示。hhihxxyihxixjyjhyjhy中心点,ijf节点,lmf图5-2二维网格图5.1.4有限元法基本思想：把边界问题化为变分问题，对求解区域做剖分，使成为有限个“单元”的和，在每一个单元上作未知函数的某种多项式插值，使它们在相邻单元的公共边界上满足某种连续性条件，以保证用这种分片插值函数组成的有限维数空间SN是未知函数解空间V的子空间。5.1.4有限元法（续）一种常采用的三角形单元如图5-3所示。显见，有限元法不用网点阵列，而用许多相互连接的小子区域或单元来表示所研究的介质。5.1.4有限元法（续）图5-3有限元离散化5.1.5区域分解算法基本思想：把计算区域分解为若干子域，子域的形状尽可能规则，于是原问题的求解转化为在子域上的求解。5.1分布参数系统的数学描述优点：(1)它把大问题化为若干个小问题，缩小了计算规模；(2)子区域形状规则（如长方形等），其上或者允许使用熟知的快速算法，或者已经有解这类规则问题的高效软件；5.1.5区域分解算法（续）(3)允许使用局部拟一致网格，无需使用整体拟一致网格，甚至各子域可以用不同的离散方法进行计算；(4)允许在不同子域选用不同的数学模型，以便整体模型更适合于工程物理实际情况；5.1.5区域分解算法（续）(5)算法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行；(6)对于对称区域问题有更简单的区域分解算法。5.2典型的分布参数系统实例例扭振杆系统如图5-4所示的扭振杆系统(,)TLt0(,)yt0y(,)Tyt(,)Tydyt图5-4扭振杆系统5.2典型的分布参数系统实例（续）对于厚度为的一段扭杆，可用牛顿定律得到把和联系起来的微分方程。由材料力学得知，杆的上半段在任意时刻t作用在上面的弹性力矩为(5.14)dyT(,)pTytIGy5.2典型的分布参数系统实例（续）式中，是圆截面的极惯性矩，G是材料的剪切弹性模量。在同一时间，因为T是位置y的函数，故杆的下半段作用在单元下平面的力矩是42pIR5.2典型的分布参数系统实例（续）22(,)(,)(,)ppTydytTytTytdyIGIGdyyyy222222222ppppRdyRIGIGIGdyIdtyyytt2222yGt(5.15)(5.16)由牛顿定律得这个偏微分方程就是：一维波动方程。5.2典型的分布参数系统实例（续）解析法1有限差分法25.2典型的分布参数系统实例（续）用解析法求解方程(5.16)。取所有的初始条件为零，于是得到2220dsdyG为求出处角运动的频率响应，令yLsjsin(,)(,)cospGLLjTLjIGsGL1.解析法(5.25)5.2典型的分布参数系统实例（续）如图5-5所示，其频率响应存在无限多个固有频率，其数值可由下式算出LTLLTpLIGLG,图5-5扭振模型的频率响应5.2典型的分布参数系统实例（续）2kkGL(1,3,5...)k(5.26)若结构以其中某一固有频率振动，则此时的动态扭转曲线称为其振型。5.2典型的分布参数系统实例（续）根据式(5.25)列出以下比值很容易得到其振型。图5-6示出了前三阶振型。y3L25L25L5L35L45LyL0y图5-6扭振的各阶模态5.2典型的分布参数系统实例（续）2.有限差分法图5-7所示的是最简单的模型，在模型中取以研究自由振动。用纯数学方法直接从偏微分方程转换成近似的常微分方程。对于图5-7的模型来说，在点处可写出0iT2yL22321222222dyGdtL(5.27)5.2典型的分布参数系统实例（续）1230振型2L2L图5-7扭杆的最简单的有限差分模型5.2典型的分布参数系统实例（续）21|02yLyL122222204dLGdt2GL由于扭矩与扭转应变成比例，故可写出（后向差分）(5.28)，式(5.27)简化为(5.29)(5.30）所以y上式给出单一固有频率LOGO