第2章-2--弹性力学基础与地震波—波动方程的解

第二章弹性力学基础与地震波•弹性力学基础•波动方程的解1.不均匀弹性杆的一维波动方程的解分离变量法求解均匀杆c(x)=cC1、C2、C3、C4为任意函数。是D’Alembert形式解五、波动方程的解注：ω是可以任取的常数，波动方程的解表示由无数频率成分的简谐波合成的任意形状的函数。地震仪记录的地震波的频带范围可从0.0001~200Hz。地震波的波速在地壳中约为5km/s，因此记录的地震波信号的波长范围在0.025~50000km之间。地面运动是实函数地震学名词非均匀杆当地震波传播速度的空间变化量大大小于感兴趣的频率，即不均匀一维介质中高频地震波的波动方程解可以表达为2.三维均匀空间中波动方程的平面波解其中iink同样注：无论是Ｐ波还是Ｓ波，其波数矢量的方向代表的是平面波的播方向，上述波动方程的解中波数矢量前只需取单一的‘－’号。举例：X1X3平面内传播的平面波解一组在ｘ１ｘ３平面内传播的平面Ｐ波，其相位函数为波阵面方程的表达式—在x1x3平面上的一条直线，该直线所代表的是一个垂直于x1x3平面的等相面※固定ｔ时刻的一系列不同相位的波阵面※等相位的波阵面在不同时刻的空间位置※波数矢量ｋα＝（kα1，０，ｋα3）与波阵面是正交的定义波矢量方向与ｘ３轴方向的夹角为入射角，并记为ｉ射线参数或水平慢度垂直慢度在ｘ１ｘ３平面内传播的平面Ｓ波，同样也有又对在ｘ１ｘ３平面内传播的平面Ｐ波，则有※Ｐ波的质元运动（振动）方向与波矢量方向（传播方向）是平行的在ｘ１ｘ３平面内传播的平面Ｓ波，则有※在ｘ１ｘ３平面内传播的平面Ｓ波的振动，并不像Ｐ波一样，只局限在传播平面上，在垂直于传播平面的ｘ２方向上也存在Ｓ波分量。uS=uSV+uSHuS在X2轴的投影分量为uSH＝uSHe2uS在X1X3坐标基平面(入射面)上的投影分量为uSV＝uSV1e1+uSV2e3入射面界面波阵面X1X2X3SVSH垂直于传播平面的ｘ２方向上的Ｓ波分量记为ＳＨ波，传播平面上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。地震学中将垂直于传播平面的ｘ２方向上的Ｓ波分量记为ＳＨ波，传播平面上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。ＳＨ波的位移函数Ｖ也满足波动方程则有ＳＶ波的位移为※尽管ＳＶ的振动局限在波的传播平面内，但其振动方向与传播方向是垂直的。ＳＶ波势函数的解有波的总位移为※弹性介质中可以同时存在两种振动方向互相正交的不同类型的波—Ｐ波和Ｓ波，它们在介质中是以不同速度独立传播的，互不干涉※Ｓ波分解成振动方向相互正交的两个分量：ＳＶ波和ＳＨ波；※ＳＨ波的振动方向与Ｐ波和ＳＶ波的振动方向都是垂直的，ＳＨ波将独立传播，不会与Ｐ波或ＳＶ波间发生波型相互转换或能量交换。而Ｐ波与ＳＶ波的振动方向由于都在传播平面内，当波传播至垂直于传播平面的介质速度间断面时，Ｐ波与ＳＶ波间可能会发生相互转换和能量交换，即可能产生反射或折射的转换波。三分量地震仪记录的地面振动通常分别记录的波动矢量是：垂直向振动（向上为正），北南向振动（向北为正）和东西向振动（向东为正）。通过对两个水平振动分量的坐标旋转，不难将波动矢量旋转为：垂直向振动，径向振动（由源到记录台的连线的水平投影，Ｒ分量）和切向振动（与径向正交的水平分量，Ｔ分量）。右图显示了一个地震记录的实例，切向分量上记录的Ｓ波显然是ＳＨ波；垂直分量上，P波最清晰，只有很少能量在切向上Ｐ波、ＳＶ波及ＳＨ波偏振方向（左）和三分量远震原记录及旋转后的地震图（右）SKS、PS、SKKS从P波转换为SV波；Sdiff或Sd表示S波沿核幔边界衍射，为SH波。3.波动方程的柱面波解轴对称波场，柱坐标系下，波动方程化为：rrrt122222设ϕ＝R(r)T(t)，代入求解，可以得到：)()()2(0)1(0krBHkrAHRCeTtik)4-(kr-)2(0)4-(kr)1(0)2(0)1(02~)(2~)(1HankeliiekrkrHekrkrHkrHH时，当函数是零阶和※分别表示以速度向极轴汇聚和离开的柱面波。柱面波的振幅是r-1/2，可以从物理上分析得到理解；当柱面波向外传播时，波前面的面积与r成正比，因此每单位面积上的能流按r-1减少。又因能流与振幅的平方成正比，所以振幅应与r-1/2成正比。柱坐标系下波场的一般形式(不满足轴对称时)：波动方程为：zzeeu222222222222ttt4.波动方程的球面波解Ｐ波势函数表示的波动方程均匀各向同性介质中，球对称爆炸点源激发的波的波动方程可以简化为球对称波动问题的纵波位移势的解