《推荐》问题3.5利用正、余弦定理解决实际问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍Wo

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍三角函数本身起源于人们对大自然中物体的测量，直到科技发达的今天，仍然有不少领域、不少技术涉及到三角函数，可以说，三角函数的出现，是人类的文明进步的一个重大体现，也是人类进步不可或缺的重要工具。正因为如此，我们在学习三角函数中，一定要重视它的实用性，利用三角函数，特别是利用正余弦定理解决实际问题，就成为当今考查的一个热门，应该引起大家的高度重视。一、正弦定理的应用正弦定理是解三角形的一个重要工具，在三角形的三边和三角这六个条件中，如果涉及两边及一边对角，或者两角与一边问题时，通常利用正弦定理作为入手点，可以很快求出第四个量，为后面解三角形铺平道路。例1、如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是_____________________.【分析】在知道∠ACB的情况下，只要知道BC的长即可，因此在△BCD中，知道两角及一角对边，求另一角对边，可以使用正弦定理。【答案】10m解得610x【点评】如果知道两角及其一角对边，或者两边及其一边对角，可以利用正弦定理。当然，如果与外接圆半径有关的边角关系，也可以考虑正弦定理。【变式训练】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，31.73）【答案】60【分析】本题以直角三角形为依托，解斜三角形，知道一边及相关的角，用正弦定理是首选。【解析】92AC，46cos67AB，sin37,60sin30sin37sin30ABBCABBC.例2、如图，山顶有一座石塔BC,已知石塔的高度为a.(1)若以B,C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用a,α，β表示山的高度；(2)若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影。已知石塔高度a=20，当观测点E在AD上满足6010DE时看BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h.【分析】在△EBC中，知道一边及两角，可使用正弦定理先求出AC或AB，然后在直角三角形中求山高。【变式训练】（2015届宁夏大学附中高三上期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC；从C点测得60MCA，已知山高100BCm，求山高MN.【答案】m150【分析】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件CBA（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式，熟记正弦定理的内容和正弦定理的变形公式，求解三角形，把实际问题转化为三角形数学问题.考点：正弦定理在实际中应用.二、余弦定理的运用余弦定理主要用于三边及一角的三角形相关问题.当知道三角形的两边及其夹角，求第三边时，余弦定理是首选；当然，知道三边求一角时，余弦定理也是手到擒来。例3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积为________________________.【分析】从条件中可知，边上的三角形都是知道两边及其夹角，面积立即可得，关键是求出内部正方形的面积，于是，只需利用余弦定理求出正方形边长即可。【解析】一个等腰三角形的面积为：1111sinsin22，由余弦定理得等腰三角形的底边长为：2211211cos2(1cos)，因此八边形的面积为：214sin2(1cos)2sin2cos22.考点：余弦定理及三角形面积公式.【变式训练】要测量底部不能到达的珠江电视塔的高度，在珠江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔在这次测量中的高度是________________．【分析】与AB相关的两个三角形都是直角三角形，且知道一个锐角的大小，于是，另一直角边可用塔高x表示，于是，在△BCD中，就变成三边(与x相关)和一角的关系，利用余弦定理，可以求出塔高x。【答案】500m【解析】依题意设ABx，则,3BCxBDx，在BCD中由余弦定理得方程222(3)5002500cos120xxx，解得500x.例4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°.灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为_________________km.【答案】a3【点评】使用余弦定理的问题，关键是将条件与结论所涉及的三角形元素转换为一个三角形的两边及其夹角，或者三边，使用余弦定理就非常方便了。三、正弦定理、余弦定理综合运用由于三角形问题的实际生活背景非常丰富，平面的和空间的都可以涉及，因此，一个问题中同时涉及正弦定理和余弦定理的情况屡见不鲜，解析中应充分注意条件与结论的关系，合理使用两个定理解决问题。例5、如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在河的这边测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．【分析】在△BCD中，利用正弦定理sin30sin45BCDC，可求BC，在△ABC中，由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos45°，可求AB．【答案】64km【变式训练】如图，在平面四边形ABCD中，32,2,7,1,ADCEAECDEABDA，3BEC（1）求CEDsin的值；（2）求BE的长【分析】（1）本小题中先在CED中用余弦定理求得CD，再在CDE中用正弦定理求得sinCED，注意在用这两个定理时，要找足条件，并正确选择三角形；（2）本小题中23AEBCED，而2coscos()3AEBCED用两角差的余弦公式展开求得，又在RtEAB中，cos,EAAEBBE故cosEABEAEB即可求得其值.考点：余弦定理，正弦定理，同角三角函数的基本关系，直角三角形的边角关系，两角差的余弦公式.【迁移运用】1．如图所示，某镇有一块空地OAB，其中3,33OAkmOBkm，090AOB．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边A，B上，且030MON，挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山，剩下的OBN地带开设儿童游乐场．为了安全起见，需在OAN的一周安装防护网．（Ⅰ）当32AMkm时，求防护网的总长度；（Ⅱ）若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的3倍，试确定AOM的大小．【答案】（Ⅰ）9km．（Ⅱ）015AOM【解析】所以060OAB，在AOM中，033,,602OAAMOAM，由余弦定理，得332OM，所以222OMAMOA，即OMAN，所以030AOM，所以OAN为正三角形，所以OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km．2．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中A、B、C、D在同一平面内．现测得CD长为100米，105ADN，30BDM，45ACN，60BCM．（1）求BCD的面积；（2）求船AB的长．【答案】（1）25003平方米；（2）100153米．【解析】3．在海岸A处，发现北偏东045方向，距离A为(31)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西075方向距离A为2海里的C处有我方一艘辑私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东030方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间？【答案】沿北偏东060追击，需106小时．【解析】试题分析：本题主要考查解三角形、三角形中的几何计算等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中，利用余弦定理，求出BC的值，然后在CBD中，BCD，设缉私船用t小时在D处追上走私船，则有103,10CDtBDt，在三角形中利用正弦定理解出所求时间．【方法点睛】正弦定理：在一个三角形中，各边和它的对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径，2sinsinsinabcRABC，在式子中两个边两个角知三求一；余弦定理：2222cosabcbcA，2222cosbacacB，2222coscababC，在式子中，已知三角形的两边及其夹角，可求角的对边，或已知三角形的三边，可以求出三角形的三个内角．4．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝45°，C点的仰角∠CAB＝60°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝45°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m．【答案】【解析】【方法点睛】本题考查解三角形的应用，属于中档题；利用解三角形处理实际问题时，先分析三角形的已知元素和所求元素，合理选择正弦定理、余弦定理（勾股定理）进行求解．5．如图，一根木棒AB长为2米，斜靠在墙壁AC上，60ABC，若AB滑动至11AB位置，且1(32)AA米，则AB中点D所经过的路程为．【答案】12【解析】试题分析：设AB的中点为P，11AB的中点为'P，连接CP、'CP，∵ACCE，P为AB中点，∴CP＝12AB＝1112AB＝'CP＝1．当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到C的距离始终为定长1，∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧，∵60ABC，∴30CAB，3AC．∵132AA，112CAACAA，∴111112sin2CAABCAB，∴1145ABC，∴1'45ACP，∴1'''1512PCPACPACPACP，∴弧'PP的长＝11212＝12，即P点运动到'P所经过路线'PP的长为12．【方法点睛】该题考查的是有关动点运动时所经过的路程问题，属于较难题目，解决该题的关键是要明确动点运动的轨迹是什么曲线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而确定出动点应该在以原点为圆心，以1为半径的圆上，再结合题中所给的角的大小，从而确定出相应的边长，结合132AA，从而确定出动点所经过的圆弧所对的圆心角的大小，进一步确定出弧长，求得结果．6．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则sin．【答案】217【解析】7．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角为________．【答案】45°【解析】由勾股定理知AD＝20m，AC＝30m.所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD.又0°∠CAD180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.8．如图，水平地面ABC与墙面BCD垂直，E,F两点在线段BC上，且满足4EF，某人在地面ABC上