复数的几何表示

盐城工学院基础部应用数学课程组第二节复数的几何表示第一章一、复数的几何表示二、模和辐角盐城工学院基础部应用数学课程组一、复数的几何表示1.用复平面上的点表示复数(,).zxiyxy复数与有序实数对一一对应.故用直角坐标平面上的点可以用来表示复数,,.xy复平面实把该直角坐标面称为轴叫轴虚轴叫轴(2,2)z=2+2i(虚轴)(实轴)盐城工学院基础部应用数学课程组zxiyxyoiyxzP注意：复数z，点z，向量z可视为同一个概念。2.用复平面上的向量表示复数z向量与复数一一对应，故用它表示复数.OPyiyxzxOxyrzxyiz与z在复平面上关于实轴对称.盐城工学院基础部应用数学课程组22.zrxy容易看出，,xz,yz,zxy22,zzzz二、复数的模和幅角zzxyoiyxzP记作zxiy复数z的模：向量的长度，OPryx盐城工学院基础部应用数学课程组注意:向量的方向角.OPyiyxzxOxy2)0的模为零，0的辐角不确定.记作满足的那个幅角.ππ记作arg.z复数z的辐角：Arg.z3)复数z的幅角主值:于是幅角与幅角主值的关系Argarg2,zzkπ0,1,2,.k盐城工学院基础部应用数学课程组arctan(,)22yx其中.argz0,0,xy0,0.xyarctan,yxπ,2arctanπ,yx0π,或yOxy幅角主值的计算:若z在第一、四象限；若z在第二、三象限；若若zxiyarg(,]z注意.zxiy盐城工学院基础部应用数学课程组zxy例1求的模和幅角：z22||2.zxyArgarg2zzk32,4πkπ0,1,2,.k由于z位于第二象限，arctan(1)解(1)1;zi(2).zi(2)1,zarg,2zArgarg2zzk22kzargz,4ππarctanyx(1)模为盐城工学院基础部应用数学课程组1argarctan()3z22(1)1iizii解3.i22||(3)(1)10,z1arctan3π.πxy31由于z位于第三象限，arctanyxarctanyxarctanyxarctanyx盐城工学院基础部应用数学课程组xyo1z2z21zz两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，例2证明复平面上的三角不等式证1212,zzzz且表示点和之间的距离故成立不等式.1z2z21zz1z1212(2).zzzz1212(1);zzzz盐城工学院基础部应用数学课程组例3求下列在复平面上所表示的曲线:.4)Im()3(;22)2(;2)1(ziziziz解.22)1(的点的轨迹为距离表示所有与点方程iiz.2,的圆半径为即表示中心为i,iyxz设,2)1(iyx,2)1(22yx.4)1(22yx圆方程xyo-i盐城工学院基础部应用数学课程组22)2(ziz表示所有与点和距离相等的垂直平分线.22i,iyxz设,22yixiyix化简后得.xy4)Im()3(zi,iyxz设,)1(iyxzi,41)Im(yzi.3y所求曲线方程为2i2盐城工学院基础部应用数学课程组利用直角坐标与极坐标的关系cos,sin,xryr则z也可以表示成再利用欧拉公式cossin,iei三、复数的三角表示和指数表示iyxzOxyr则z也可以表示成复数的三角表示式复数的指数表示式盐城工学院基础部应用数学课程组||1244,z解2argarctan()12zxy2121arctan3ππ6ππ.65π554(cossin).66ππzi复数的三角表示式为z564.πize复数的指数表示式为z习惯上取主辐角例4盐城工学院基础部应用数学课程组例5将下列复数化为三角表示式与指数表示式:sincos;55zi解1,rzsincos5253cos,10cossin5253sin,10故三角表示式为33cossin,1010zi指数表示式为310.ize盐城工学院基础部应用数学课程组1.复数的模、辐角、幅角主值;2.复数的各种表示法.内容小结各种表示法可相互转化,盐城工学院基础部应用数学课程组1.是否任意复数都有辐角?思考题它的模为零而辐角不确定.盐城工学院基础部应用数学课程组作业习题一:1(2)(4)、2、4(1)(6)7,8(3)(4)(5)盐城工学院基础部应用数学课程组例4.222111表示线用复数形式的方程来的直与将通过两点iyxziyxz解),(),(2211的直线的方程与通过两点yxyx)()(121121yytyyxxtxx),,(t参数所以它的复数形式的参数方程为(复方程))(121zztzz),,(t参数盐城工学院基础部应用数学课程组,21的直线段的参数方程为到由故zz10)(121tzztzz,21t若取21的中点坐标为得线段zz.221zzz盐城工学院基础部应用数学课程组1122i3i3(1)11(2)例5求下列复方程所表示的曲线:2(1)114;(2)Re()1.zzz,iyxz设代入复方程得22143xy盐城工学院基础部应用数学课程组*二、复球面1.南极、北极的定义,0的球面点取一个与复平面切于原z,与原点重合球面上一点S,NS点直线与球面相交于另一作垂直于复平面的通过.,为南极为北极我们称SNxyPNOS盐城工学院基础部应用数学课程组球面上的点，除去北极N外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作∞.因而球面上的北极N就是复数无穷大∞的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复球面的定义盐城工学院基础部应用数学课程组3.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数∞来说，实部、虚部、辐角等概念均无意义，它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.盐城工学院基础部应用数学课程组:的四则运算规定如下关于)(,:)1(加法)(,:)2(减法)0(,:)3(乘法)0(,0),(,,0:)4(除法盐城工学院基础部应用数学课程组为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．