导数中的“端点效应”问题

导数中的“端点效应”问题不等式恒成立求参数的取值范围的题目一般形式是：当0xx时，不等式()(,)0gxfxa恒成立，求实数a的取值范围。一般解法主要有两种：一是直接求函数()(,)gxfxa的最值；二是把参数a分离出来，得到()ahx或()ahx的形式，然后再求函数()hx的最值。纵观近几年的高考试题，利用导数求不等式中某一参数的试题可以考虑使用“端点效应”，即对某个端点进行验证。基本原理：设函数𝑓(𝑥)含参数𝜆，且xA，𝑓(𝑥)0恒成立的𝜆的取值范围为𝐵。若0xA，由𝑓(𝑥0)0⇒C，（此时𝐵⊆𝐶.）且当C时，𝑓(𝑥)0恒成立，则𝐵=𝐶.说明：1.“此时𝐵⊆𝐶”，是因为∀𝑥∈𝐴，𝑓(𝑥)0恒成立的取值范围是由𝑥取集合𝐴中每一个值使𝑓(𝑥)成立的𝜆的所有取值范围的交集确定.2.设函数𝑓(𝑥)含参数𝜆，且xA，𝑓(𝑥)0恒成立的𝜆的取值范围为𝐵，则0xA，使得𝑓(𝑥)≤0成立的𝜆的取值范围为UCB；所以特称命题转化为全称命题后，也可以考虑用特殊点效应.（一）端点效应——给定原始区间的端点效应例1.已知9𝑥−log𝑎𝑥≤2在10]2（，上恒成立，则实数𝑎的取值范围是______.例2.已知函数()lnxfxx。（1）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；（2）若存在2[,]xee，使得1()02fxmxm成立，求实数𝑚的取值范围.根据以上分析可知，若不等式()(,)0gxfxa具有如下特点：验证端点0xx时，发现有00()(,)0gxfxa成立，也就是不等式中等号成立的条件恰好是已知区间的一个端点，那么，不等式()(,)0gxfxa成立就化为不等式0()()gxgx成立，假设函数()gx在0[,)x上是单调增函数，就可以确定实数a的一个恰发的范围，使'()0gx成立，即找到一个使不等式()(,)0gxfxa成立的充分条件。接下来还需要证明，不在这个范围内的实数a，不能够满足条件()(,)0gxfxa。这时只需要找到一个以0x为端点的区间01(,)xx，当01(,)xxx时，'()0gx，从而()gx在01(,)xx上是减函数，因此有0()()0gxgx成立，这与()(,)0gxfxa矛盾，而区间01(,)xx的得到只需要通过解不等式'()0gx。1.已知函数cbxaxxxf23)(在区间0,1上单调递减，则22ba的取值范围是____.2.函数1331)(223xmmxxxf在区间2,1上单调递增，则实数m的取值范围是____.3.已知函数axxaxxf6)1(3)(23，当0a时，若函数)(xf在区间2,1上是单调函数，求a的取值范围.4.【2008江苏】设函数13)(3xaxxf，若对于1,1x总有0)(xf恒成立，则a=____.例3.已知函数1()1axxfxex。（1）设0a，讨论()yfx的单调性；（2）若对任意(0,1)x恒有()1fx，求a的取值范围。例4.设函数2()1xfxexax。（1）若0a时，求()fx的单调区间；（2）若当0x时，()0fx，求a的取值范围。函数在端点处的取值有以下三种情形：（1）)(xf在区间ba,的端点a和b处均有定义且;0)(,0)(bfaf（2）)(xf在区间ba,的端点a或b处无定义或区间是无限区间ba,,,；（3）)(xf在区间ba,的端点a或b处有0)(af或0)(bf。（二）端点处的取值有意义且不为0例5.【2008天津】设)(xf是定义在R上的奇函数，且当0x时，2)(xxf，若对任意的2,ttx，不等式)(2)(xftxf恒成立，则t的取值范围是（）A.,2B.,2C.2,0D.,21,2例6.若02)3()(2axaaxxf在1,0上恒成立，则实数a的取值范围是________【变式1】【2013全国卷】已知函数133)(23xaxxxf，当,2x时，0)(xf，求a的取值范围。【变式2】【2012江西】已知函数xexaaxxf1)1()(2在1,0上单调递减，求a的取值范围。【变式3】【2010天津】已知函数0,123)(23axaxxf，若在区间21,21上0)(xf恒成立，求a的取值范围。例7.设函数()1xfxe。（1）证明：当1x时，()1xfxx；（2）设当0x时，()1xfxax，求a的取值范围。（二）端点处的取值没有意义且趋于无穷xxfln)(的定义域是,0，且当x趋于0时，xxfln)(趋于负无穷，当x趋于时，xxfln)(趋于正无穷，为了后面方便表述，记)(,)0(ff。然后不管函数)(xf在区间的端点a处有没有意义，也不管a是否为无穷，我们均记)(af为当x趋于a时)(xf的值。这样的记法为了后面的叙述。例8.【2012新课标】当210x时，xaxlog4，则a的取值范围是（）A.22,0B.1,22C.2,1D.2,2例9.【2009江西】已知函数mxxgxmmxxf)(,1)4(22)(2，若对于任一实数x，)(xf与)(xg的值至少有一个为正，则m的取值范围是______.【变式1】不等式)2(1)32(log2xxxa恒成立，则实数a的取值范围是（）A.31,0B.1,31C.3,1D.,3（三）变形后验证端点例10.已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（1）求,ab的值；（2）如果当0x且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。（四）无端点时选择特殊点验证例11.已知函数()axfxex，其中0a，若对一切,()1,xRfx求a的取值范围。