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第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形第3课时菱形的判定1课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形由边的数量关系判定菱形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升ABCDO(1)菱形具有平行四边形的一切性质;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;1知识点由对角线的位置关系判定菱形同学们想一想,我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时,我们首先想到的第一种方法是什么?那么类比着它们,菱形的第一种判定方法是什么?根据定义得:一组邻边相等的平行四边形是菱形.平行四边形菱形还有其它的方法吗?用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?猜想一:对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明:判定一:对角线互相垂直的平行四形是菱形.DCBA已知:在ABCD中有对角线AC⊥BD,且相交于点O求证:ABCD是菱形∵四边形ABCD是平行四边形.∴BO=DO又∵AO=AO,∠AOD=∠AOB∴△AOD≌△AOB.∴AD=AB∴ABCD是菱形O归纳对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示:此方法包括两个条件——(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.例1如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.求证:□ABCD是菱形.∵AB=5,AO=4,BO=3,∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD.∴□ABCD是菱形.证明:总结证明一个四边形是菱形的方法:若已知要证的四边形的对角线互相垂直,则要考虑证明这个四边形是平行四边形.1如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗?为什么?四边形ABCD是一个菱形.理由:由题意易得AB=BC=CD=AD,所以四边形ABCD是菱形.解:2【2016·海南】如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是对称轴,BD与AC交于点O,AB∥CD,则下列结论:①AC⊥BD;②AD∥BC;③四边形ABCD是菱形;④△ABD≌△CDB.其中正确的是____________(只填写序号).①②③④3【2017·泰安】如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC,其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4D2知识点由边的数量关系判定菱形我们知道,菱形的四条边相等.反过来,四条边相等的四边形是菱形吗?思考例2如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,点E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点.试说明:四边形EFGH是菱形.由于点E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,可知EH,HG,GF,FE分别是△ACD,△ABC,△BCD,△ABD的中位线,又∵AB=CD,∴EH=HG=GF=FE,根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH是菱形.导引:∵点E,H分别为AD,AC的中点,∴EH为△ACD的中位线,∴EH=CD.同理可证:EF=AB,FG=CD,HG=AB.∵AB=CD,∴EH=EF=FG=HG,∴四边形EFGH是菱形.12解:121212总结有较多线段相等的条件时,我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形.注意:本例也可以通过先证四边形EFGH是平行四边形,再证一组邻边相等,只不过步骤复杂一点,读者不妨试一试.要证明一个四边形是菱形,一般先证明它是平行四边形,再证明它的一组邻边相等或对角线互相垂直.例3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,CH⊥AB于点H,交AD于点F,DE⊥AB于点E,那么四边形CDEF是菱形吗?说说你的理由.导引:四边形CDEF是菱形.理由如下:∵CH⊥AB,DE⊥AB,∴CF∥DE,∠4+∠5=90°.∵∠ACB=90°,∴∠2+∠3=90°,DC⊥AC.又∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴∠3=∠4,DC=DE,∴∠2=∠5.又∵∠1=∠5,∴∠1=∠2.∴CF=CD,∴CF=DE,即CFDE.∴四边形CDEF是平行四边形.又∵DC=DE,∴四边形CDEF是菱形.∥=解:总结判定菱形的方法:①若用对角线进行判定:先证明四边形是平行四边形,再证明对角线互相垂直,或直接证明四边形的对角线互相垂直平分;②若用边进行判定:先证明四边形是平行四边形,再证明一组邻边相等,或直接证明四边形的四条边都相等.一个平行四边形的一条边长是9,两条对角线的长分别是12和,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积.165这是一个特殊的平行四边形,是菱形.如图,在平行四边形ABCD中,AB=9,BD=12,AC=所以OB=OD=6,OA=OC=解:65,35.因为62+()2=92,即OB2+OA2=AB2,所以△AOB是直角三角形,所以AO⊥BO,即AC⊥BD,所以平行四边形ABCD是菱形.S菱形ABCD=AC·BD=×6×12=36.355512122如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是()A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CDB3【2017·河南】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠2C4【中考·遵义】如图,将▱ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处,则下列结论不一定成立的是()A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BEC5【2017·临沂】如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是()A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形D6【2016·雅安】如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为()A.52cmB.40cmC.39cmD.26cmA7如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.如果AE=4cm,那么四边形AEDF的周长为()A.12cmB.16cmC.20cmD.22cmB8如图,分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠BAC=30°.给出以下结论:①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD.其中正确的结论是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④14C1知识小结四条边相等四边形平行四边形菱形菱形的判定方法:蔡琰(作者有待考证)的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》都特别喜欢。不过都是组诗,太长了,就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首:【南史曰:元帝避建邺则都江陵,外迫强敌,内失人和。魏师至,方征兵四方,未至而城见克。在幽逼求酒,饮之,制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱,西陵最可悲。今日还蒿里,终非封禅时。人世逢百六,天道异贞恒。何言异蝼蚁,一旦损鲲鹏。松风侵晓哀,霜雰当夜来。寂寥千载后,谁畏轩辕台。夜长无岁月,安知秋与春。原陵五树杏,空得动耕人。•蔡琰(作者有待考证)的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》都特别喜欢。不过都是组诗,太长了,就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首:【南史曰:元帝避建邺则都江陵,外迫强敌,内失人和。魏师至,方征兵四方,未至而城见克。在幽逼求酒,饮之,制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱,西陵最可悲。今日还蒿里,终非封禅时。人世逢百六,天道异贞恒。何言异蝼蚁,一旦损鲲鹏。松风侵晓哀,霜雰当夜来。寂寥千载后,谁畏轩辕台。夜长无岁月,安知秋与春。原陵五树杏,空得动耕人。•蔡琰(作者有待考证)的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》都特别喜欢。不过都是组诗,太长了,就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首:【南史曰:元帝避建邺则都江陵,外迫强敌,内失人和。魏师至,方征兵四方,未至而城见克。在幽逼求酒,饮之,制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱,西陵最可悲。今日还蒿里,终非封禅时。人世逢百六,天道异贞恒。何言异蝼蚁,一旦损鲲鹏。松风侵晓哀,霜雰当夜来。寂寥千载后,谁畏轩辕台。夜长无岁月,安知秋与春。原陵五树杏,空得动耕人。
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