S变换的数值计算公式

S变换的数值计算公式分析电子信息工程学院QuencyChenStockwell提出的S变换是小波变换的一种变种，不是严格的小波变换，也可以看做是STFT的一种变种。S变换的优点是遵循了傅里叶变换的物理含义，是一种较好的时域和频域联合的信号分析工具。并且S变换是线性的，可逆的。一般在计算时，采用离散信号进行数值求解，所以实际应用时，应该使用S变换的离散公式。但Stockwell给出的公式只考虑了实数频率域。如下102][1][NkNnkjekhNnH(1)先用DFT公式，即公式1计算出信号)(kh，k=0,1,…,N-1的离散频谱][nH.这里n的取值是0,1，…,N-1。（若设N为偶数，这里n大等于2/N时，实际上对应到频率域的负数域里去了，如果h(k)是实数信号，则负数域与实数域应该是共轭的。）然后再计算S变换出来的S域结果：NmtjNmnmeenmHntS2102222][),(，0n10)(1)0,(NmmhNtS，0n(2)这里首先有一个问题Stockwell的论文中没有提到，就是H[m+n]当取值超过N后怎么取，我觉得应该是借鉴DFT的思路，在时域离散，在频域要周期扩展，在频域离散，在时域要周期扩展，所以应该将H[n]周期扩展到整个频域，因此H[m+n]可以在整个频域进行取值。这里还有一个问题就是公式2中的n对应的是频率f，NTnn，T为采样间隔时间，其作用类似小波变换中的控制小波只作用于局部时间范围，从S变换的连续方程中可以看出，f越大幅度衰减越快，作用的时间域范围越窄，这是有物理含义的。对于离散信号因为受Nyquist采样定律的限制，对离散信号分析时，实际频域应该只能221NnT，但如果直接使用公式2计算，n则可能最大取到N-1，似乎不对。以下是我仿真的情况。图1a，最上面是时域图，中间是DFT，下面是选择一个时刻t的S变换中的一维曲线，图1b是S变换后的二维图。从图1可以看出，在负频率部分的结果不对。我估计之所以这里不对的原因是因为Stockwell可能处理的信号是实数信号，所以不关注负频率部分。所以我把上面的计算方法改了一下，变为If0n，n从1开始取值，且22Nn，N为偶数，21Nn，N为奇数NmtjNmnmeenmHntS2102222][),(If0n，n从2N，N为偶数，从21N，N为奇数，开始取值，取到1NNmtjNmNnmeenmHntS210)(2222][),((3)图2修正离散S变换公式但为什么正负频不对称呢？这里我们仔细观察公式3，会发现，如果取t=0,则公式3中的相位因子就可以去掉，公式3就变为。102222][),0(NmnmenmHnS(4)公式4中m的取值就是改变DFT每个频点幅度的权重因子。可以看出当m=0所对应的H(n)始终取得最大的权重因子1；而且n越大，也就是频率越高，权重因子随频率变化衰减的越慢。相当于S变换低频段的频率分辨率更高。而相位因子是固定的，由于高频段同样相位对应的时间短，所以S变换高频段的时间分辨率更好。这里可以回答为什么正负频不对称了，因为H[n]在计算公式4时不满足频偏越大权重越小，因为FFT做出来的频率横轴上，频率变化不是单向的，而且正负频扭曲了（fftshift）。解决办法是将公式2的计算放到正负频轴上来计算。公式2改为先取N为奇数，0n，n从21N，取到21NNmtjNNmnmeenmHntS221212222][),(再取N为偶数，0n，n从2N，取到22NNmtjNNmnmeenmHntS22222222][),(这里奇数和偶数可以统一为NmtjNfloorNfloormnmeenmHntS2)21()21(2222][),((5)S反变换NnkjNnNtentSNkh21010}),(1{][