高考文科数学二轮复习三角恒等变换与解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形[做小题——激活思维]1．若cosθ＝23，θ为第四象限角，则cosθ＋π4的值为()A.2＋106B.22＋106C.2－106D.22－106B[因为cosθ＝23，θ为第四象限角，则sinθ＝－53，故cosθ＋π4＝22cosθ－22sinθ＝22×23－－53＝22＋106，故选B.]2．[一题多解]已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()A．－53B．－59C.59D.53A[法一：∵sinα＋cosα＝33，∴sin2α＝－23，又α为第二象限角且sinα＋cosα＝33＞0，∴2kπ＋π2＜α＜2kπ＋3π4(k∈Z)，∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋3π2(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－1－sin22α＝－53.法二：∵sinα＋cosα＝33，∴sin2α＝－23，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝153，由sinα＋cosα＝33，sinα－cosα＝153，解得sinα＝3＋156，cosα＝3－156，∴cos2α＝2cos2α－1＝－53.]3．在△ABC中，若AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于()A．3－3B.2C．2D．3＋3[答案]A4．在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，BC＝7，则sinA等于()A．－32B.32C．－12D.12[答案]B5．在钝角三角形ABC中，已知AB＝3，AC＝1，B＝π6，则△ABC的面积为()A.14B.32C.34D.12[答案]C[扣要点——查缺补漏]1．和差公式及辅助角公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.如T1.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(4)sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝2tanα1－tan2α.如T2.(5)辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.2．正弦定理和余弦定理(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R.如T3.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.如T4.3．三角形的面积公式(1)S＝12aha＝12bhb＝12chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB．如T5.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径)．三角恒等变换(5年5考)[高考解读]三角恒等变换是三角变换的工具，在高考中主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单独考查，也可以与三角函数的性质综合考查.1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3D[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255切入点：2sin2α＝cos2α＋1．关键点：正确应用倍角公式及平方关系，注意α的范围．B[由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴2sinα＝cosα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝15.又α∈0，π2，∴sinα＝55.故选B.]3．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.切入点：①tanα－54π＝15；②两角差的正切公式．关键点：解关于tanα的方程．32[法一：因为tanα－5π4＝15，所以tanα－tan5π41＋tanαtan5π4＝15，即tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.法二：因为tanα－5π4＝15，所以tanα＝tanα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.切入点：①tanα＝sinαcosα；②两角差的余弦公式．关键点：利用同角三角函数基本关系式，求出sinα和cosα的值．31010[因为α∈0，π2，且tanα＝sinαcosα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝255，cosα＝55，则cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55×22＋255×22＝31010.][教师备选题]1．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.－43[将θ－π4转化为θ＋π4－π2.由题意知sinθ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cosθ＋π4＞0，所以cosθ＋π4＝1－sin2θ＋π4＝45.tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－1tanθ＋π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－4535＝－43.]2．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.1．三角函数式的化简要遵循的“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”．2．求值的基本类型(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角求解；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，确定角的度数．1．(给角求值)2sin47°－3sin17°cos17°＝()A．－3B．－1C.3D．1D[原式＝2×sin47°－sin17°cos30°cos17°＝2×sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝2sin30°＝1.故选D.]2．(给值求值)已知cosx－π6＝33，则cosx＋cosx－π3＝()A．－1B．1C.233D.3B[cosx＋cosx－π3＝cosx＋cosxcosπ3＋sinxsinπ3＝32cosx＋32sinx＝332cosx＋12sinx＝3cosx－π6＝3×33＝1，故选B.]3．(给值求角)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4A[因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈π2，π，α∈π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈π，3π2，所以β－α∈π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22，又α＋β∈5π4，2π，故α＋β＝7π4，故选A.]利用正、余弦定理解三角形(5年12考)[高考解读]高考对该部分内容的考查重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，且常和三角恒等变换相结合，考查形式为边、角、面积的计算.角度一：三角形的边、角计算1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3切入点：由asinA－bsinB＝4csinC，利用正弦定理得出a，b，c的关系．关键点：利用cosA＝－14得出b，c的关系．A[∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－4c2＋b22bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3切入点：化简sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0.关键点：正确运用公式，由条件sinB＋sinA(sinC－cosC)，求得A的某一三角函数值，进而求A，再求C.B[因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sinA＝2sinC，故sinA＝2sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝3π4.从而sinC＝12sinA＝22×22＝12.由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6.故选B.]角度二：三角形的面积、周长的计算3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6切入点：①S△ABC＝a2＋b2－c24；②S△ABC＝12absinC.关键点：利用上述①②求C的一个三角函数值．C[因为S△ABC＝12absinC，所以a2＋b2－c24＝12absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以tanC＝1.又因为C∈(0，π)，所以在△ABC中，C＝π4.故选C.]4．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC