基数原理经典例题

经典例题透析类型一：两个计数原理的应用1．用0、1、2、3、4、5、能组成多少个(1)四位数；(2)四位偶数；(3)无重复且能被5整除的四位数；(4)比5000小的自然数；解析：(1)由分步计数原理得5×6×6×6=1080（个）(2)由分步计数原理得5×6×6×3=540（个）(3)由分类计数原理分成2类，第一类是“末位是0”，共有5×4×3种，第二类是末位是5，共有4×4×3种，故共有108个这样的四位数。(4)法一：由分步计数原理直接可得5×6×6×6=1080（个）法二：分成一位数、二位数、三位数、四位数四类，故共有6+5×6+5×6×6+4×6×6×6=1080（个）总结升华：①应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件。能完成便是分类，否则便是分步，对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时应注意层次分明，不重不漏。②在分步时，要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响（即是否是独立的）。举一反三：【变式1】3封信投到5个信箱，有多少投信方法？【答案】125分3步：第一步，投第一封信，有5个信箱，故有5种投法；第二步，投第二封信，有5种投法；第三步，投第3封信，还是有5种投法，由分步计数原理，有53=125种方法。【变式2】A={a,b,c},B={1,2,3,4}，A到B的映射有多少个？【答案】64分三步：第一步，给元素a找像，有4种方法；第二步，给元素b找像，有4种方法；第三步，给元素c找像，有4种方法；由分步计数原理得共有4×4×4=64种映射。【变式3】红、黄、蓝信号弹各一发，发一发，两发，三发代表不同的信号，问能组成多少种不同的信号？【答案】15分3类：第一类，发一发有3种信号；第二类，发两发有3×2=6种信号；第三类，发三发有3×2×1=6种信号，故共有3+6+6=15种不同的信号。【变式4】某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用周六组织学生到某工厂进行社会实践活动。（1）任选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选两个班的学生参加社会实践，要求这两个班来自不同年级，有多少种不同选法？【答案】（1）分三类：第一类从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选一个班，有8种不同方法。由分类加法计数原理，共有6+7+8=21种不同选法。（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同的方法；第二步从高二年级选一个班，有7种不同的方法；第三步从高三年级选一个班，有8种不同方法。由分步乘法计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法。（3）分三类，每类又分两步：第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选一个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三两个年级各选一个班，有7×8种不同方法。故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法。类型二：排列数和组合数公式2．计算：（1）；（2）解析：（1）原式。（2）原式。总结升华：要善于利用组合数的两个性质进行化简和计算有关组合数的式子。举一反三：【变式1】计算：。【答案】原式。【变式2】计算：。【答案】依题意必须满足∴5.7≤≤6.5，而∈N*，∴=6。∴原式。类型三：排列应用问题3．7人排队照相，则满足下列条件的排队种数分别有多少种？(1)甲必在正中间；(2)甲不在正中间；(3)甲在端位；(4)甲不在端位；(5)甲必在左端，乙必在右端；(6)甲必在左端，乙不在右端；(7)甲、乙两人都在端位；(8)甲、乙两人都不在端位；(9)甲、乙两人不都在端位；(10)甲、乙两人恰有一人在端位；(11)甲、乙两人中至少有一人在端位；(12)甲、乙两人必须排在一起；(13)甲、乙两人必须排在一起，另5人也必须排在一起；(14)甲、乙两人不相邻；(15)甲、乙、丙三人不相邻；(16)甲、乙、丙三人顺序固定。解析：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)某三人不相邻；(16)某三人顺序固定；举一反三：【变式1】由0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的(1)五位数；(2)自然数；(3)五位奇数；(4)五位偶数；(5)比12345大的五位数；(6)比54312小的五位数；(7)能被5整除的五位数；(8)能被25整除的五位数；(9)能被4整除的五位数；(10)能被3整除的五位数。【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【变式2】四对母子排队照相，分别满足下列要求的排队方法有多少种？(1)排两排，每排四个人，小孩在前排，大人在后排；(2)排两排，每排四个人，小孩和母亲排在一起；(3)排一排，小孩不能相邻；(4)排一排，小孩不能相邻，母亲也不能相邻；(5)排一排，小孩从左到右由高至低排；(6)排一排，甲不在最左端，乙不在最右端。【答案】(1)分两步：第一步排前排四个小孩，有种方法；第二步排后排四个母亲，有种方法，由分步计数原理得共有种排队方法。(2)将孩子和他的母亲先看成一个人，则有种排法，每个孩子和母亲都有两种顺序，故共有种排法。(3)先排母亲，有种排法，出来5个空，将孩子插到这5个空里，有种排法，故共有种排法。(4)先排母亲，有种排法，出来5个空，孩子只能插在左边的四个空或右边的4个空，故有种排法，由分步计数原理得(5)法一：分两步，先从8个位置中找出4个位置排母亲，有种方法，剩下4个空位子，四个孩子去坐，只有从左到右从高到低1种方法，故共有种排法；法二：首先全排列，但这里只需要四个孩子的一种顺序，故共有种方法。(6)从反面考虑：总数为，减去不符合题意的情况：甲在左端，有种；乙在右端，有种，但甲在左端同时乙在右端的情况，种，被减了两次，故要加回来一次，共有种排法。【变式3】甲、乙、丙、丁四个运动员要排在四个跑道，甲不在一道，乙不在二道，丙不在三道，丁不在四道，问共有多少种排法？【答案】9种乙甲丁丙乙丁甲丙乙丙丁甲丙甲丁乙丙丁甲乙丙丁乙甲丁甲乙丙丁丙甲乙丁丙乙甲类型四：组合应用问题4．在角A的一边上除A点外有5个点，在另一边上除A点外有4个点，由A点和另外9个点可组成多少个三角形？思路点拨：依据题意画出图形，将问题具体化，然后从正面分类解决，或者找出对立面。解法一：由于点A是角A的顶点，可以把三角形分为两类：第一类是不含A点的，又分2类：（1）从中取一点，再从中取二点，有个；（2）从中取二点，再从中取一点，有个；第二类是含A点的，从中上取一点，再从中取一点，有个．因此可组成三角形（个）解法二：从10个点中任意取3个点的取法有种，其中不能组成三角形的取法：从中上取三点有种，或从中取一点有种．因此，可以组成的三角形有（个）总结升华：解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，避免产生重复的方法就是进行分类。举一反三：【变式1】平面内有10个点，其中有某4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上．可以确定多少条直线？【答案】40；法一：分三类：第一类，共线4点确定1条直线；第二类，共线4点中选1点，从其余6点中选1点，可以确定条；第三类，从其余6点中选2点，可以确定条；所以共可以确定（条）法二：间接法从10个点中任意取2个点的取法有种，其中重复计数的取法包括共线4点只能确定1条直线；因此，共可以确定（条）【变式2】平面内有10个点，其中有某4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上．可以确定多少个三角形？【答案】116；法一：由于不在同一条直线上的三点可确定三角形，分三类：第一类，从其余6点中选3点，可以确定个；第二类，从其余6点中选1点，共线4点中选2点，可以确定个；第三类，从其余6点中选2点，共线4点中选1点，可以确定个；所以共可确定三角形（个）法二：间接法从10个点中任意取3个点的取法有种，其中共线4点不能确定三角形；因此，共可以确定定三角形（个）。【变式3】平面内有10个点，其中有某4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上．可以确定多少个四边形？【答案】由于四边形有4个顶点，且任意三个顶点不共线，则可确定四边形（个）或（个）【变式4】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）。A．140种B．84种C．70种D．35种【答案】取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决，另外，也可以采用间接思路。法一：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台有种取法，从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各1台的取法共有种。法二：从所有的9台电视机中取3台有种取法，其中全部为甲型的有种取法，全部为乙型的有种取法，则至少有甲型与乙型各一台的取法有种。类型五：排列组合的综合应用5．从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A、B、C、D、E五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法？思路点拨：要完成分配工作这一事件，必须依次完成“选出3个男同学”“选出2个女同学”“对选出的5个人进行不同的工作分配”这一流程．解析：分三步完成事件：第一步：选出3个男同学的方法有种；第二步：选2个女同学有种方法；第三步：对选出的5个人进行分配工作有种方法．根据分步计数原理，一共有分配方法（种）．总结升华：处理排列、组合的综合性问题，一般方法是先按元素的性质“分类”（相当于“布局”），再按事件发生的连续过程分步；若既有排列也有组合，先选后排，这是处理排列、组合问题的基本方法和原理．举一反三：【变式1】对某种产品的6只不同正品和4只不同次品一一测试，若所有次品恰好在第六次测试时被全部发现，这样的测试方法有多少种？【答案】；先选1个次品在第六次测试的位置上，有种方法，再选2只正品与剩下的3只次品进行全排列，有种方法．所以符合条件的方法有（种）．【变式2】有4名男生5名女生一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？【答案】；由题意可知，有且仅有2名女生要分在同一个班，故有（种）．【变式3】甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（1）共有安排方法种；（2）甲、乙两人同时参加岗位服务的安排方法种。【答案】240，6；（1）先分类：四个不同岗位的服务人数分别为：2、1、1、1，然后分步完成：第一步：先从5人中选2人，有方法种，再将四组人安排到岗位上，有方法种，共有安排方法种；（2）甲、乙两人同时参加岗位相当于3人的全排列，有方法种。类型六：分配问题6．有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人．（1）甲得2本，乙得2本，丙得2本，有多少种分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？解析：（1）分三步完成：第一步：甲从6本不同的书中选取2本有种方法，第二步：乙从剩下的4本中去取2本书有种方法，第三步：丙从剩下的2本中去取2本书就只有种方法．所以依据分布计数原理，共有分法种．（2）这里没有指明谁得1本，谁得2本，谁得3本，而要确定甲、乙、丙三人每人得书的本数有种方法．所以共有分法（种）．（3）设把6本不同的书平均分成三推每堆2本有x种方法，那么把6本书分给甲、乙、丙三人每人2本就有种方法（因为每次分成三堆后，再分给三个人有种分法），而把6本书分给甲、乙、丙三人每人2本的方法有种．于是∴（种）总结升华：一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。举一反三：【变式1】把6本不同的书分成三堆，一堆4本，另二堆各1本那么共有种。【答案】15；。【变式2】4个男同学和4个女同学各平均分成两组，每组2人