高考文科数学专题复习冲刺方案专题二三角恒等变换与解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形「考情研析」正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算．2.三角形形状的判断．3.面积的计算．4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.核心知识回顾1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝□01sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝□02cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝□03tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝□012sinαcosα；cos2α＝□02cos2α－sin2α＝□032cos2α－1＝□041－2sin2α；tan2α＝□052tanα1－tan2α；cos2α＝□061＋cos2α2，sin2α＝□071－cos2α2.3．辅助角公式asinα＋bcosα＝□01a2＋b2sin(α＋φ)tanφ＝ba.4．正弦定理□01asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝□022RsinA，b＝□032RsinB，c＝□042RsinC.sinA＝□05a2R，sinB＝□06b2R，sinC＝□07c2R.a∶b∶c＝□08sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝□01b2＋c2－2bccosA，b2＝□02a2＋c2－2accosB，c2＝□03a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝□04b2＋c2－a22bc，cosB＝□05a2＋c2－b22ac，cosC＝□06a2＋b2－c22ab.6．面积公式S△ABC＝□0112bcsinA＝□0212acsinB＝□0312absinC.7．常用结论(1)三角形内角和□01A＋B＋C＝π；(2)abc⇔□02ABC⇔□03sinAsinBsinC；(3)□04sin(A＋B)＝sinC，□05cos(A＋B)＝－cosC.热点考向探究考向1三角恒等变换与求值例1(1)已知α为第一象限角，cosα＝35，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2＝()A.25B.75C.145D．－25答案C解析∵cosα＝35且α为第一象限角，∴sinα＝45，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×45×35＝2425，cos2α＝2cos2α－1＝2×352－1＝－725，∴1＋2cos2α－π4sinα＋π2＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝1－725＋242535＝145.(2)已知θ∈(0，π)，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝()A.43B.34C．－247D.247答案C解析∵sinθ－π4＝22(sinθ－cosθ)＝210，∴sinθ－cosθ＝15.又∵θ∈(0，π)，且sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝45，cosθ＝35，∴tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.(3)(2019·四川德阳高三第二次诊断)已知α为锐角，且tanα＝43，则cos2α＋π2＝()A．－2425B．－1625C.35D.34答案A解析cos2α＋π2＝－sin2α＝－2sinαcosα＝－2sinαcosαsin2α＋cos2α＝－2tanαtan2α＋1＝－2425.(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2α2，cos2α2时，常逆用二倍角余弦公式降幂．(2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－π4－α，α＝π4－π4－α等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧．1．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B.22C.12D．－12答案B解析由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1.又因为A，B是△ABC的内角，即A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，易知C＝π4，cosC＝22.2．(2019·辽宁抚顺高三一模)已知函数f(x)＝sinx－cosx＋π6，若在区间0，π3上f(x)≥a恒成立，则实数a的最大值是()A．－32B．－12C.12D.32答案A解析函数f(x)＝sinx－cosx＋π6＝32sinx－32cosx＝3sinx－π6，由于0≤x≤π3，故－π6≤x－π6≤π6，－32≤3sinx－π6≤32.当x＝0时，函数的最小值为－32.由于在区间0，π3上f(x)≥a恒成立，故a≤－32，所以a的最大值为－32.故选A.3．已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4等于()A．－255B．－3510C．－31010D.255答案A解析由tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2α0，所以sinα＝－1010.故2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinαsinα＋cosα22sinα＋cosα＝22sinα＝－255.考向2正弦定理与余弦定理的应用例2(2019·辽宁抚顺高三一模)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝10，角B是最小的内角，且3c＝4asinB＋3bcosA.(1)求sinB的值；(2)若c＝14，求b的值．解(1)由3c＝4asinB＋3bcosA且A＋B＋C＝π，由正弦定理得3sinC＝4sinAsinB＋3sinBcosA，即3sin(A＋B)＝4sinAsinB＋3sinBcosA，由于0Aπ，即sinA0，整理可得3cosB＝4sinB，又sinB0，所以sinB＝35.(2)因为角B是最小的内角，所以0B≤π3，又由(1)知sinB＝35，所以cosB＝45，由余弦定理得b2＝142＋102－2×14×10×45＝72，即b＝62.(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝12absinC形式的面积公式．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos2C＋2ccosAcosC＋a＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝4sinB，求△ABC面积S的最大值．解(1)由acos2C＋2ccosAcosC＋a＋b＝0，得a·(2cos2C－1)＋2ccosAcosC＋a＋b＝0，即2acos2C＋2ccosAcosC＋b＝0.由正弦定理，得2sinAcos2C＋2sinCcosAcosC＋sinB＝0，∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0.∵0°B180°，∴sinB≠0，∴cosC＝－12，∴C＝120°.(2)根据正弦定理，得c＝bsinCsinB，∵b＝4sinB，C＝120°，∴c＝bsinCsinB＝4sinBsinCsinB＝23，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得(23)2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab≥3ab，∴ab≤4，∴S＝12absinC≤3，∴△ABC面积S的最大值为3.考向3解三角形的综合问题角度1解三角形与三角恒等变换的综合例3(2019·福建省高三模拟)已知在△ABC中，AC＝3，C＝120°，cosA＝3sinB.(1)求边BC的长；(2)设D为AB边上一点，且△BCD的面积为1538，求sin∠BDC.解(1)由cosA＝3sinB及C＝120°，得cos(60°－B)＝3sinB，展开得12cosB＋32sinB－3sinB＝0，即cos(B＋60°)＝0，所以B＝30°.所以A＝60°－B＝30°，即A＝B＝30°，所以BC＝AC＝3.(2)由S△BCD＝12×3×BD×sin30°＝1538，解得BD＝532.在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcosB，所以CD＝212.由BCsin∠BDC＝CDsinB，得3sin∠BDC＝212×2，所以sin∠BDC＝217.正、余弦定理与三角恒等变换的综合问题，应先利用三角恒等变换公式将函数关系式变形为只含一个角的一种三角函数形式后，再根据要求求解．(2019·江西南昌高三适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理，得2c－ab＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，cosAsinB－2cosCsinB＝2sinCcosB－sinAcosB，cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosB＋2cosCsinB化简得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×14，得a＝1，从而c＝2.又因为cosB＝14，且0Bπ，所以sinB＝154.因此S＝12acsinB＝12×1×2×154＝154.角度2解三角形与平面几何知识的综合例4如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝π2，B＝2π3，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝2π3，EC＝7.(1)求sin∠BCE的值；(2)求CD的长．解(1)在△BEC中，由正弦定理，知BEsin∠BCE＝CEsinB.∵B＝2π3，BE＝1，CE＝7，∴sin∠BCE＝BE·sinBCE＝327＝2114.(2)∵∠CED＝B＝2π3，∴∠DEA＝∠BCE，∴cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－328＝5714.∵A＝π2，∴△AED为直角三角形，又AE＝5，∴ED＝AEcos∠DEA＝55714＝27.在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×－12＝49.∴CD＝7.利用正、余弦定理求解平面几何中的问题，应根据图形特征及已知条件，将所给量及待求量放在同一个三角形中，结合三角形内角和定理、外角和定理及正、余弦定理求解．(2019·广东江门高三一模)平面四边形ABCD中，边AB＝BC＝5，CD＝8，对角线BD＝7.(1)求内角C的大小；(2)若A，B，C，D四点共圆，求边AD的长．解(1)在△BCD中，cosC＝BC2＋CD2－BD22·BC·CD＝12，C＝π3.(2)因为A，B，C，D四点共圆，所以A＝π－C＝2π3，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA，49＝25＋AD2＋5AD，解得AD＝3或AD＝－8，又AD0，所以AD＝3.真题押题『真题模拟』1．(2019·山东聊城高三一模)设函数f(x)＝sinx－cosx，若对于任意的x∈R，都有f(2θ－x)＝f(x)，则sin2θ－π3＝()A.12B．－12C.32D．－32答案B解析f(x)＝sinx－cosx＝2sinx－π4，由f(