将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练

L/O/G/O将军饮马问题----两线段和最小值专题L/O/G/O1、平移三种变换的本质相同：都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。2、旋转3、轴对称(“将军饮马”问题)在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？图1图2转化思想两点之间，线段最短。FFA+FBAB化同侧为异侧——轴对称变换化折线为直线——“两点之间、线段最短”如图3，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为．图3681010[想一想]如果把这道题看成“将军饮马”的问题，你觉得图中哪条线段可以看成河流，哪两个点可以看成A和B呢？(“将军饮马”问题)在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？图1图4（“过桥问题”—北师大版数学教材八年级下册第90页第18题改编.）如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）QP答：桥应建在PQ处才能使由甲到乙的路线最短.平移变换转化思想如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点E、F的坐标分别为、．图5D’QE[想一想]这个题跟刚刚的过桥问题有什么联系和区别？如果能把这个题看成是过桥问题的话，请问桥是指哪一段？F（1/3，0）（7/3，0）如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点E、F的坐标分别为、．图5D’QE[想一想]这个题跟刚刚的过桥问题有什么联系和区别？如果能把这个题看成是过桥问题的话，请问桥是指哪一段？F（1/3，0）（7/3，0）图6在(-3，5)如图6，已知抛物线的解析式为y=-x2-2x+8，对称轴为x=-1，点E(1，5)在抛物线上，抛物线与x轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)．*（1）作点E关于对称轴的对称点F，则点F(填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为；**（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使ME+MC的和最小，求出点此时M的坐标；***（3）在AB上存在两个动点P、Q(点P在Q的左侧)，且PQ=2，连接QC、FP，当四边形PQCF周长最小时，求点P的坐标；****（4）若点D是抛物线上的一个动点，连接AD、OD，将△AOD绕OD折叠，使得点A落在A’处，连接CA’求CA’的最大值和最小值.如图7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边BC、CD上分别存在点G、H，则四边形EFGH周长的最小值是．图7如图8，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为．图8这节课，你有哪些收获？1.知识方面：“引圆”法解决最值问题。两点之间线段最短轴对称变换平移变换轴对称变换平移变换化同侧为异侧——轴对称变换化折线为直线——“两点之间、线段最短”2.数学思想：“转化”思想、“数形结合”思想。图10图92．如图11，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）图11如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短.如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短.理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。。一般做法：作点P关于OA和OB的对称点P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA、OB的交点即为所求点。P1P2即为最短周长。如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短呢？一般做法：作点A（B）关于直线的对称点，连接A’B，A’B与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离理由：A’为A的对称点，所以无论P在直线任何位置都能得到AP=A’P。所以PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了求A’到B的最短距离，直接相连就可以了图7