第一次习题课-无穷级数-高数

1内容及要求无穷级数的第一次习题课2典型例题1内容及要求(1)理解常数项级数的定义及性质(2)掌握常数项级数敛散性的判别法发散否1nnuun→0?级数收敛的定义、性质形式比较法、比较法的极限比值法、根值法0nu用定义其他用定义进行处理对莱布尼兹判别法交错级数散若用比值，根值，则发,nu是一般项级数1nnu绝对收敛如收敛如发散首先考察1||nnu2典型例题121)1(nnnnaa收敛，则若例1填空可能收敛也可能发散。解例如收敛，2)1(nnn.122收敛nn绝对收敛，或1nna1nna是正项级数，因为an1推出an2an。则结论正确。收敛，2)1(nnn.12发散nn111lim)2(nnnnnnnuvvu收敛，则，已知。收敛，则若112)3(nnnnnaa绝对收敛可能收敛也可能发散。1ln)1(lim1ln)1(1ln)1(limnnnnnnnnnn但是发散。2221ln)1(]1ln)1([nnnnnnnnn],1[21||22nnanna。，则21)1(,0)4(nnkknn条件收敛收敛。收敛，||1,11212nnnnnnana发散，212,11limnnknnnknn收敛，而交错级数21)1(nnknn原级数条件收敛）为（收敛，则必收敛的级数若1)5(nnu1)1()(nnnnuA12)(nnuB1212)()(nnnuuC11)()(nnnuuDD:反例nuCnuBAnnnn1)1(:)(1)1(:))((1110(6)(),lim,nnnnnnnnuuSnuAu若且则SA111021321011(6)()2()3()...()(...)nkkknnnnkuuuuuuuunuuuuunu.)([limlim110SAuuknuSunkkknnnnnn例2判断下列级数的敛散性11(1)nnnn方法：221(!)(2)2nnn发散1011(3)lnnn1,,nvn取用比较法发散。1,nvn取用比较法，发散.221!1()[(1)!](0),22nnunnn1(4)(1cos)nn312ln(5)nnn221coslim1,2nnn收敛431,nvn取收敛21cos3(6);2nnnn2cos3,22nnnnnnu收敛1(7)(0,0).nsnaasn,1时当a原级数收敛；,1时当a原级数发散；,1时当a级数，故原级数为pnns,11anausnnnnn)(limlim从而,1时当a原级数发散；时，发散。时，收敛：当当11ss解：n≥2时，dxxndxxxunnn/0/011sin022)1ln(nnn收敛，故所给级数收敛。222nn1)1ln(lim22nnnn（或用极限法）/01sin(8),1nnnnxudxux是否收敛？例3判断下列级数是条112sin1(1)(1),nnnn件收敛还是绝对收敛12(1)(1)!(2)nnnnn11||,.nnu解:绝对收敛11lim||1,.(1)nnnnnunuen解：绝对收敛)1()1()3(12nnnn)(ln~1)1(ln11nnnenannnn解不绝对收敛。发散，2lnnnn0)1(limln1nnne显然单调减。下验证1)1(ln11nnnnena,ln)(xxxf令)(0ln1)(2exxxxf13,.nnnaa只要原级数条件收敛。2(1)(4)(1)nnnn解：这是一个交错级数，11)1(1)1()1(nnnnnn211nn发散，所以该级数不是绝对收敛的。易知0)1(1nnnu当n为偶数时，nnununnn1)1(11,1111unun+1；但un不是单调减少的：当n为奇数时，21)1(11,1111nnununnnunun+1。前2n项之和记为S2n，则)4151()2131(2nS)21121(nn每个小括号内皆为负值，故S2n是单调减少的，同时又有)6151()4131(212nS21121)21121(nnn又由于0limnnuSuSSnnnnn)(limlim12212SSnnlim所以所以原级数为条件收敛。即原级数收敛。所以{S2n}单调减且有下界，故nnS2lim存在，记为S。1(1)(5)lnnnnn,1ln1nnn,11发散而nn,ln1ln)1(11发散nnnnnnn即原级数非绝对收敛．,ln)1(1级数是交错nnnn由莱布尼茨定理：,0ln11limln1limnnnnnnn),0(ln)(xxxxf),1(011)(xxxf,),1(上单增在,ln1单减即xx,1ln1时单减当故nnn),1()1ln()1(1ln11nunnnnunn所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．所给级数为交错级数。1(1)sinlnnnan解:发散，故而nnnnannln1,1ln1ln1sinlim,ln1sin||原级数不绝对收敛。单调递减，故很大时，而当又nnnnln1sin,0ln1sinlim原级数条件收敛。21(6)sin()lnnnn例4求下列极限nkkknkn12)11(311lim)2()13(852!lim)1(nnn解（1）考察31lim,11nnnnnuuu.0lim1nnnnuu收敛，所以112)11(31)2(nnnnnan考察级数11limlim(1)133nnnnnean因为此级数收敛sknkkkn12)11(31lim即0)11(311lim12nkkknkn所以证明因为偶函数f(x)在x=0的某邻域有连续的二阶导数，)1(2)0(122nonf，故0)0(f)1()1(2)0(1)0()0()1(22nonfnffnf且例5(1)设偶函数f(x)在x=0的某邻域二阶导数连续，且f(0)=1，绝对收敛。证明级数1]1)1([nnf于是2)0(1)1(2)0(lim11)1(lim222fnnofnnfnn收敛11)1(nnf绝对收敛)1)1((1nnf绝对收敛。正项级数，证明为收敛的收敛，且设级数1111)()2(nnnnnnnnbabaa1001(),nnkknnnksaaaaasa证明：因故Maaasannn||0有界，设从而则的收敛性知，由比较法及nnnnbMbba,||绝对收敛。nnba0nnnncaba证明：因，故可得证。收敛。证明为收敛的级数，，设级数111,)3(nnnnnnnnncbcaba1121(4)()nnnnnnnabab设正项级数，为收敛的级数，证明也收敛。()0nnnnabab证明：因收敛，故，nnnnnnbababaN2)(,10,从而对足够大的