权重的确定方法

层次分析法层次分析是一种决策分析的方法。它结合了定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。层次分析法(TheAnalyticHierarchyprocess,简称AHP)人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方向；科研人员要选择科研课题……人们在选择时，最困难的就是在众多方案中都不是十全十美的,往往这方面很好，其它方面就不十分满意，这时，比较各方案哪一个更好些，就成为首要问题了。例1某家庭预备“五·一”出游，手上有三个旅游点的资料。u1点景色优美，但u1是一个旅游热点，住宿条件不十分好,费用也较高；u2点交通方便,住宿条件很好，价钱也不贵，只是旅游景点很一般；u3点旅游景点不错,住宿、花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？在这个问题中，首先有一个目标——旅游选择；其次是选择方案的标准——景点好坏、交通是否方便、费用高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。一、建立递阶层次结构层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线连接。第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。例如，上面例子的递阶层次结构为：景点旅游住宿费用交通u1u2u3————目标层————准则层————方案层为了把这种定性分析的结果量化，20世纪70年代，美国数学家Saaty等人首先在层次分析中引入了九级比例标度和两两比较矩阵。二、构造两两比较判断矩阵两个元素相互比较时，以其中一个元素作为1(如ui)，如果相对上一层,ui与uj比较,好坏相同，则uj记为1；uj比ui较好,uj记为3;uj比ui好,uj记为5；uj比ui明显好，uj记为7;如果uj比ui好的多，则uj记为9;2,4,6,8则是介于1,3,5,7,9之间的情况。把与上层某元素有关系的所有下层元素逐一比较，且每一个元素与各元素比较的结果排成一行则可得到一个方阵A=(aij)n×n，称为两两比较矩阵。设ui与uj比为aij，则uj与ui比应为aji=1/aij,所以两两比较矩阵A也称为正互反矩阵。如例1建立层次分析模型：1A112121313112332,7,,2,;1;,(),/41721/711/41/241Aaa第三层相对第二层元素“景点”的两两比较矩阵中u比u明显的好记即=7；u比u强一些但不多记为=2u比u当然为了类似u比u差一些或u比u好一些记为1，于是得到矩阵：景点旅游住宿费用交通u1u2u3如果我们通过判断矩阵A1,可以准确的确定u1,u2,u3相对“景点”的权重,就可以通过对“景点”“住宿”“费用”“交通”等所有考虑到的因素权重,再通过这些因素相对目标的权重,最后确定出各方案对目标的权重。三、由判断矩阵计算元素对于上层支配元素的权重（或排序）用判断矩阵求权重的方法有很多种，下面介绍三种方法：1.和法2.最小夹角法3.特征向量法1.和法1211(1)2(,,,)1(1,2,,)nnijinjljlA=inna将矩阵的列向量归一化；（）计算归一化后的矩阵的各列的算术平均，得到权重(排序）向量：其中2.最小夹角法11112(1)()2(1,2,,)(,,,)ijn?nnijjinnijijnAB=bbw=inb将矩阵的列向量单位化，得到的矩阵设为；（）计算得到权重（排序）向量：3.特征向量法;maxA(1)计算判断矩阵的最大特征值(2)maxA求属于特征值的正特征向量（分量全大于0的特征向量，一定存在！）并将其归一化，所得向量即为权重（排序）向量。四、判断矩阵的一致性检验：.67(),,{1,2,,},ijikkjijAanijknaaaA定义设为阶判断矩阵，若对于任意的都有则称为一致性矩阵。但在实际问题中很难使A满足一致性。虽然AHP并不要求判断矩阵具有完全的一致性，但是偏离一致性要求过大的判断矩阵所作出的最终决策也会于实际情况偏差太大，因此有必要对判断矩阵进行一致性检验。1max:1CInCIn（）计算判断矩阵的一致性指标一致性检验的步骤：;RI（2）根据矩阵的阶数由下表查找平均随机一致性指标n3456789RI0.580.901.121.241.321.411.45:0.1,;CRCICRRICRAAAA（3）计算一致性比例若认为具有满意的一致性，接受否则，放弃或对的数据做适当的调整。五、计算最底层元素对目标的权重（排序）向量在上述步骤中得到的是各层元素对上层元素的权重（排序）向量，而我们的目的却是要得到最底层元素对目标的权重（排序）向量，这就须将已经得到的权重（排序）向量进行合成，从而得到综合权重（排序）向量。以下就三层的情况来介绍这种方法。22222222122321212122121122,,,(,,,)(,,,)nnnnnnnnWnn=（）（3）（）设第二层个元素对第一层目标的权重（排序）向量为第三层个元素对第二层个元素的权重（排序）向量为将它们构成分块矩阵：则第三层元素对第一层目标的权重（排序）向量为112317211/71/61/711/4711/21/24162111/51/411/35511/23174211/51/7113251/31321/21/3111/51/2114AAAAB如例：二层对一层判断矩阵：12341234:0.002/20.001;0.04;0.047;0.0325 0.001/0.580.0017;0.069;0.081;0.056;0.0155/30.007750.00517/0.90.005740.1AAAAAAAABBCICICICICRCRCRCRCICR一致性检验；；一致性指标均小于，一致性满意。最大特征值和对应正特征向量分别为：λ=3.002，X=(5.903867500,0.8066923031,3.086293726)Tλ=3.080，X=(0.0846216595,0.4466019878,0.6734288503)Tλ=3.094，X=(0.09138978270,0.3366828382,0.4961400716)Tλ=3.065，X=(3.658853431,8.514030366,0.943422178)Tλ=4.0155,X=(9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641)T特征向量归一化得第三层3个元素对第二层4个元素的权重（排序）向量为：W1=(0.6028,0.08236,0.3151)T，W2=(0.07023,0.3706,0.5589)TW3=(0.09888,0.3643,0.5368]T，W4=[0.2791,0.6494,0.07196)T第二层4个元素对目标的权重（排序）向量为W(2)=(0.4966,0.1914,0.2120,0.0998)T第三层3个元素对元素对目标的权重（排序）向量为：W(3)=0.4966W1+0.1914W2+0.212W3+0.0998W4=(0.3617,0.2538,0.3845)T由计算结果和最大隶属原则，u1、u2、u3三个旅游点相对旅游目标来说，综合排序结果是：u3点为首选，u1次之，u2点最后。如果u1、u2、u3不是三个旅游点而是三个元素，则最后的结果：(0.3617,0.2538,0.3845)就是三个元素的权重向量。层次分析法例3某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化排序。目标层层准则选一领导干部健康状况业务知识口才写作能力工作作风1P2P3P方案层政策水平⑴建立层次结构模型。。1132221133/1113/13/115/14/14/12/13512/112/1142112/114111A健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风A的最大特征值,35.6max相应的特征向量为：TW)30.0,12.0,05.0,19.0,19.0,16.0()2(。。假设3人关于6个标准的判断矩阵为：13/123142/14/11)3(1B健康情况1252/1144/14/11)3(2B业务知识113113/13/131)3(3B写作能力17/15/171353/11)3(4B口才。。17/17/1711711)3(5B政策水平15/19/1517/1971)3(6B工作作风由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风3.023.023.563.053.003.21max各属性的最大特征值。。05.007.007.046.057.024.017.047.065.022.033.063.077.047.028.032.010.014.0)3(W从而有30.012.005.019.019.016.005.007.007.046.057.024.017.047.065.022.033.063.077.047.028.032.010.014.0)2()3(。。26.034.040.0W即在3人中应选择A担任领导职务。层次分析法的优点和局限性系统性：AHP把对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。实用性:AHP把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。简洁性:计算简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。AHP的局限性主要表现在以下几个方面：•（1）只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。•（2）该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。•（3）从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。