一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点：1.根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+b2a)2=b2–4ac4a2因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。上述性质反过来也成立。2.判别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。三、例题解析例1不解方程，判断下列方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－83x+3=0(3)(3－2)x2－5x+10=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数)(5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数)(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数)解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根(2)⊿=(－83)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根(3)⊿=（－5)2－4(3－2)×10=5－430+85＞0∴方程有两个不相等实根(4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根(5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴方程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－80=－12(n－43)2－1763＜0∴方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方等。②应首先将关于x的方程整理成一般形式，再求⊿=b2－4ac。③当⊿=b2－4ac≥0时，方程有实数根，反之也成立。例2已知关于x的方程14x2－(m－2)x+m2=0(1)有两个不相等实根，求m的范围.(2)有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根.(3)有实根，求m的最大整数值.解：⊿=b2－4ac=[－(m－2)[2－4×14×m2=－4m+4(1)⊿=－4m+4＞0时方程有两个不相等的实根，解得m＜1∴当m＜1时方程有两个不相等实根(2)方程有两个相等实根，∴⊿=b2－4ac=0∴－4m+4=0解得m=1∴当m=1时方程有两个相等实根为x1=x2=－b2a=－–(m–2)214=－2(3)∵方程有实根，∴⊿=b2－4ac≥0∴－4m+4≥0解得m≤1，其最大整数值为1，∴方程有实根m的最大整数值为1。说明：含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由⊿的不同情况求得。例3已知m为非负整数，且关于x的方程m(x－1)2+3x+2=2x2有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。分析，首先要把方程整理成一般形式，注意应保证二次项系数不等于零。因为已知方程有两个实数根，所以⊿=b2－4ac≥0，由此可求出m的取值范围，再由m是非负整数来确定m的值，从而使问题得解。解：整理原方程，得:(m－2)x2－(2m－3)x+(m+2)=0∵方程有两个实数根，⊿=b2－4ac≥0∴m–2=0[－(2m–3)]2–4(m–2)(m+2)≥0解得m≤2512且m≠2。∵m是非负整数。∴m=0或m=1。当m=0时，原方程为2x2－3x－2=0解这个方程得:x1=2，x2=－12。当m=1时，原方程为x2－x－3=0。解这个方程，得:x=1±132x1=1+132，x2=1－132。例4证明：当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。分析：要证明一元二次方程有实数根，只需证明它的判别式大于或等于零。证明∵⊿=b2－4ac，又b=a+c，a≠0。∴⊿=(a+c)2－4ac=(a－c)2。∵(a－c)2≥0∴⊿=b2－4ac≥0。∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。例5已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，求证:方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。分析：由已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，可得到一个关于n的关系式，再以此为基础证明方程x2+nx+2n－1=0的根的判别式⊿=b2－4ac＞0，问题即可得解。证明：∵方程x2+2x－n+1=0没有实数根，∴22－4(－n+1)＜0，即n＜0。∵方程x2+nx+2n－1=0的判别式⊿=n2－4(2n－1)=n2－8n+4，且n＜0，∴n2＞0，－8n＞0，∴n2－8n+4＞0。∴⊿=n2－4(2n－1)＞0。∴方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。例6已知关于x的方程(m+2)x2－2(m－1)x+m+1=0有两个不相等的实数根，并且一次项系数不小于零，试求m的取值范围。分析：由已知条件可知m的取值范围应同时满足:①二次项系数不等于零，②⊿=b2－4ac＞0，③一次项系数不小于零这三个条件，因而可列出不等式组求解。解：根据已知条件，可得:m+2≠0[–2(m–1)]2–4(m+2)(m+1)＞0–2(m–1)≥0解这个不等式组，得:m≠–2m＜–15m≤1∴m＜－15且m≠－2。例7当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0与x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。分析：因为两个一元二次方程的根都是整数，所以两个方程都有实数根，可先求出使两个方程都有实数根的m的值，然后从中筛选出使两个方程的根都是整数的整数m的值。解：∵一元二次方程mx2－4x+4=0有实数根，∴m≠0且⊿=b2－4ac=16－16m≥0∴m≤1且m≠0①∵方程x2－4mx+4m2－4m－5=0有实数根，∴⊿=b2－4ac=16m2－4(4m2－4m－5)≥0。∴m≥－54②由①、②得－54≤m≤1，且m≠0。∴m的整数解为－1或1。当m=－1时，方程mx2－4x+4=0的根不是整数，不符合题意，舍去。当m=1时，方程mx2－4x+4=0的根为x1=x2=2，方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根为x3=5，x4=－1。∴当m=1时，方程mx2－4x+4=0与方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。说明：求方程的特殊解的问题，可先求出方程的通解，然后再根据题目对解的特殊要求筛选出特殊解。四、自我测试1.填空：(1)方程(m+1)x2－mx+m=0有相等的实数根，则m的值是_____；(2)关于x的方程2x(kx－4)－x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是_____；(3)方程2x2－(2m+1)x+m=0的根的判别式的值是9，则m=_____；(4)若关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x+k=0有实根，则k的取值范围是_____，若方程无实根，则k的取值范围是_____。2.选择题(四选一)：(1)下到方程中，有两个不相等的实数根的是()(A)x2+x+2=0(B)x2－2x+1=0(C)x2+1=0(D)x2+x=0(2)方程(x－1)(x－2)=k2一定()(A)有两个相等的实数根(B)没有实数根(C)有两个不相等的实数根(D)以上三种情况均有可能(3)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=－8k有两个实根，则k的取值范围是()(A)k＞－116(B)k≥－116且k≠0(C)k=－116(D)k＞－116且k≠03.方程(m－1)x2+16x+10=0有两个不相等实根，求m的取值范围。4.方程kx2－10kx+15k+2=0有两个相等的实数根，求k的值及方程的根。5.若方程(m－4)x2－2mx+2m+5=0的根的判别式的值是40，求m的值。6.一元二次方程2x(kx－4)－x2+6=0没有实数根，求k的最小整数值。7.已知一元二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负整数，求方程的整数根。参考答案五、答案1.(1)m1=0，m2=－43；(2)2；(3)2,－1；(4)k≤14且k≠0，k＞14。2.(1)D(2)C(3)B3.m＜375且m≠14.k=15，x1=x2=55.⊿=〔－2m〕2－4(m－4)(2m+5)=－4m2+12m+80=40∴m1=5，m2=－26.k=27.∵方程有整数根，∴⊿=9－4a≥0，∴a≤94。∴a是非负整数，∴a=0，1，2。当a=0时，x2+3x=0，∴x1=0，x2=－3。当a=1时，x2+3x+1=0，∴x=–3±52，不是整数根。当a=2时，x2+3x+2=0，∴x1=－1，x2=－2。∴所求的整数根为0，－1，－2，－3。