《最优控制》第3章庞德里雅金极大值原理解析

12020/3/2612第3章庞德里雅金极大值原理3第3章——庞德里雅金极大值原理1、庞德里雅金原理设系统的状态方程为，]),(),([)(ttutxftx初始状态,)(00xtx其中)(tx是n维向量，u(t)属于P维向量空间中的某一有界闭集中中的控制向量，假定f的各分量对)(tx的所偶分量都是边续可微的，对u(t)的各分量是连续的，现要求在容许控制向量集合中寻找一最优控制向量,)(*tu使性能指标泛函dtttutxFttttxJfff]),(),([]),([0最小，其中F对)(tx的各分量是连续可微的，对)(tu各分量是连续的，一个使J取最小值的最优控制u*(t)必须满足的必要条件是4第3章——庞德里雅金极大值原理xHHx),,,(),*,*,(mintuxHtuxHu)(*tx)(t(1)最优轨线)(*tu和协态向量满足规范方程组)(*tx上与最优控制上对应的哈密顿(2)在最优轨线函数取最小值5边界条件)3()()(,)(00fftxtxtx②当存在终端约束条件00)(0]),([xtxttxff时，Vtfxtfxtf)()()(①当不受限制，)(ftx第3章——庞德里雅金极大值原理6(4)③当终端固定，因为ffxtxxtx)(,)(00ft①固定，H函数及)(*tx对)(*tu来说，保持常数(对定常系统)ft②变动，H函数保持零值(对定常系统)第3章——庞德里雅金极大值原理7•说明：•①庞氏原理给出的仍是最优控制所必须满足的必要条件•②庞氏原理没有给出最优控制存在性问题的解•③面对求解两点边值问题•④具体应用庞氏原理，应将原理的结论与实际问题的特点相结合。第3章——庞德里雅金极大值原理8第3章——庞德里雅金极大值原理2、双积分装置时间最优控制系统考察惯用语性负荷在一无阻尼环境中运动情况：21)()()(1)()(SsFsYsGmtftym设uxxxyxxyx221121,得设1|)(|,0tfdttJf目标泛函：9问题：设系统的状态方程uxxx221其中控制变量，1|u(t)|条件)(tu满足约束设系统的初始状态终端状态：;)0(,)0(202101xxxx0)(,0)(21fftxtxdttJf0性能指标寻求最优控制，使J最小。第3章——庞德里雅金极大值原理10求解:(1)构造哈密顿函数：uxHfFHT2211(2)协态方程:2121121)(0,CtCCXH常数(3)寻求H最小的)(tu最小时，相反的符号与且可知，当由H2u(t)1,|u(t)|1|u(t)|第3章——庞德里雅金极大值原理1100101]sgn[)(2222不定tu（4）01)(*),(*221uxHtxtu而言，有对（5）分析），则（如果①00,000121212122ccctcctc第3章——庞德里雅金极大值原理12,021212ctcctc因此，这样，可能的最优控制只能是下面四种情况。只有在有限时刻取零值②2以t为横坐标，λ为纵坐标，使λ2为零的点，即为λ2=c2与λ=-c1t的交点2],0[ft在上最多只有一点取零值2],0[ft在上最多只变号一次)(tu],0[ft在上最多只切换一次第3章——庞德里雅金极大值原理13第3章——庞德里雅金极大值原理14综上所述，如果u*(t)是双积分装置时间最优控制系统的最优控制，它必然是分段取恒值的函数，即出了有限个间断点。它分段取值于控制域的边界值+1-1。快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的控制方式称为Bang-bang控制。（6）求最优轨线1020212120220222221)()()0(11xtxttxxxxttxxxctxdtdxuxu①第3章——庞德里雅金极大值原理152201022220102201212121)(21xxxxxxtx2201022121211xxqqxxu其中②相轨迹：曲线BO：曲线AOB：曲线AO：22121xx||21122xxx22121xx第3章——庞德里雅金极大值原理16ⅰ.当初始状态位于曲线BO上，最优控制为{+1}，相轨迹为曲线BOⅱ.当初始状态位于曲线AO上，最优控制为{-1}，相轨迹为曲线AOⅲ.当初始状态位于曲线AOB上方，如P1最优控制为{-1,+1}，相轨迹为ⅳ.当初始状态位于曲线AOB上方，如P2最优控制为{-1,+1}，相轨迹为OPP11OPP22引进开关函数：1221||21)(xxxxh第3章——庞德里雅金极大值原理17开关曲线为0||21221xxx——曲线AOB(7)结论：双积分装置时间最优控制系统的控制规律00),(0),(100),(0),(1)(*2212122121xxxhxxhxxxhxxhtu及当及当第3章——庞德里雅金极大值原理18（8）结构第3章——庞德里雅金极大值原理193.双积分装置燃料最优控制系统（控制物体运动的燃料为最省）1问题1|)(|221tuuxxx设有202101)0()0(xxxx0)(0)(21fftxtx初态末态第3章——庞德里雅金极大值原理20性能指标dttutJf|)(|0寻求最优控制u*(t)使J最小2求解(1)构造哈密顿函数：uxuHfFHT221||(2)协态方程:201021011210,tXH第3章——庞德里雅金极大值原理213.对u*(t)和x*(t)有0||221uxuH4.求使H函数最小的u(t)1分析u|u|2R0110111)1(0122222uuuuuuRu①第3章——庞德里雅金极大值原理221011101)1(1022222uuuuuuRu②引进一个死区函数1011101||]sgn[1||0][xyxyxxxxdezyy11-1-1x第3章——庞德里雅金极大值原理23则R得函数为：1101011||]sgn[1||0][)(22222uuxdeztuu11-1-122确定u*(t)010①奇异情况（只利用极大值原理不能确定u*(t)）10|u|0222021则uH第3章——庞德里雅金极大值原理24设V(t)为不恒等于零的非负分段连续函数，1)(0tV110101)(),(]sgn[)(*222uututVtu则010②平凡情况11201022t时，对于则有两个t与之对应，于是最优控制切换工作方式，且在[0,tf]最多两次切换，最优控制必为三位控制。第3章——庞德里雅金极大值原理25可能的最优控制为：{+1},{-1},{0},{+1,0},{0,+1},{-1,0},{0,-1},{-1,0,+1}{+1,0,-1}上述控制序列中以“0”结尾的不可能是最优控制。0221uxxx若最终达到不了原点总之，候选的最优控制为七种{+1},{-1},{0,+1},{0,-1},{-1,0,+1}，{+1,0,-1}，1)(0),(]sgn[)(*2tVtVtu第3章——庞德里雅金极大值原理265.向平面分析|}|21:),{(}0,21:),{(}0,21:),{(22121222121222121xxxxxrrxxxxxrxxxxxr}0,21:),{(}0,21:),{(22212122221211xxxxxRxxxxxR第3章——庞德里雅金极大值原理27}0,21:),{(}0,21:),{(22212142221213xxxxxRxxxxxRVxx位于)20,10(平凡情况：奇异情况：1}{)(*为tu)(]sgn[)(*2tVtu32222)(]sgn[0CdVtxudtdxux由第3章——庞德里雅金极大值原理282022202)(]sgn[0)0(xdVtxxx由表示积分和下面用由20)(2xtfxdVdttxxtxxx)(]sgn[00)(22010121由,1表示下面用x再计算u=+1时ddttxxtxxdttx00)(0)(20101202第3章——庞德里雅金极大值原理290)}(]sgn[1{00)()()()(21111dVdttxtxtxtx计算重合。时，只有当)(),(1)(]sgn[)(112txtxtVtu因此不到原点的左边，总在迹其他的情况对应的相轨(t)x1时。位于③时，最优控制为位于②420102010),(1}{),(RxxVxx1}{),(2010时，最优控制为位于结论：当Vxx30平凡情况：只有{0,+1}{-1,0,+1}能使相点到达原点2x1x),(2010xxV0下面计算燃料最优控制消耗燃料的下线Jdttutdttutxdttutxtxttdutxtxudtdxuxfffff|)(|0|)(0|||)(00)()(0)(2020220222则则时第3章——庞德里雅金极大值原理31燃料消耗下限为||20x{0,+1}1x),(2010xxAB02x||00202022xxxxJJJJBBBOBOAB1x),(2010xxA2x0{-1,0,+1}CD||20xJ第3章——庞德里雅金极大值原理32奇异情况：1)(0)(]sgn[)(20tVtVtudVtxtxux)(]sgn[0)(202022dttVtfxtVtVtudttVttxtfxttff)(01)(0)()(1]sgn[0)(]sgn[0)(0)(20202022则则时，当tf和v(t)两个未知数，则有无穷多个解。形如x1+x2=1，有无穷多个解第3章——庞德里雅金极大值原理33解中包括{0，+1}202020220)(0)(0||)(0)(0|)(|0xdVtxdutxxxdttVtJttdVtdutJff时当相应的相轨迹总在x=x20的上方21102110111100000xdxxxdxxdtdxdxtdtdxdxtdtttffff第3章——庞德里雅金极大值原理34因此，|x2|越大，tf越小结论：当(x10,x20)位于R4时，燃料最优控制有无穷多解，其中包括{0，+1}，且控制序列{0,+1}的转移时间最短。④(x10,x20)位于R2时，燃料最优控制有无穷多解，其中包括{0，-1}，且控制序列{0,-1}的转移时间最短。⑤当(x10,x20)位于R1时，奇异情况：)1()(]sgn[)(2020tVtu此时u(t)不变号，即无法到达原点（在R1内），不是最优控制平凡情况：控制序列{-1,0，+1}第3章——庞德里雅金极大值原理35||lim||2002||20020D0CDBC20ABxJxJJDJCDJBCxJAB则段段段段当(x10,x20)位于R1时，燃料最优控制有无解1x),(2010xxA2x0DCB2燃料最优控制—