《2.2.3-等差数列的前n项和(一)》同步练习

2.2.3《等差数列的前n项和(一)》同步练习课时目标1.掌握等差数列前n项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．知识梳理1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做______．例如a1＋a2＋…＋a16可以记作______；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝______(n≥2)．2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝____________；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝__________.3．等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为________．(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.作业设计一、填空题1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________.2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则a1d＝________.3．已知等差数列{an}中，a23＋a28＋2a3a8＝9，且an0，则S10＝________.4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于________．5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为____________．6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是________．7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5的值是________．9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．二、解答题11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列Snn的前n项和，求Tn.能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是________．反思感悟1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝na1＋an2较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋nn－2d较好．2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．2．2.3等差数列的前n项和(一)答案知识梳理1．SnS16Sn－12.na1＋an2na1＋12n(n－1)d3.(1)d2作业设计1．49解析S7＝a1＋a72＝a2＋a62＝49.2.12解析由题意得：10a1＋12×10×9d＝4(5a1＋12×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴a1d＝12.3．－15解析由a23＋a28＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝10a1＋a102＝10a3＋a82＝10×－32＝－15.4．45解析数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.5．665解析因为a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7100，∴n15，∴n＝14，S14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．－3解析由a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋nn－2d＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋nn－2d＝72，得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.7．15解析设等差数列的公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋6×52d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.由a1＋d＝1，2a1＋5d＝8，解得a1＝－1，d＝2.故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.8.6512解析a5b5＝9a1＋a99b1＋b9＝S9T9＝6512.9．10解析S奇＝n＋1a1＋a2n＋12＝165，S偶＝na2＋a2n2＝150.∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴n＋1n＝165150＝1110，∴n＝10.10．210解析方法一在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30，70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，∴2S2m2m＝Smm＋S3m3m.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.11．解由an＝a1＋n－d，Sn＝na1＋nn－2d，得a1＋n－＝11，na1＋nn－2×2＝35，解方程组得n＝5a1＝3或n＝7，a1＝－1.12．解设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d，∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝715a1＋105d＝75，即a1＋3d＝1a1＋7d＝5，解得a1＝－2d＝1，∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)，∵Sn＋1n＋1－Snn＝12，∴数列Snn是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴Tn＝n×(－2)＋nn－12×12＝14n2－94n.13．10解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝nn＋2.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．14．5解析anbn＝A2n－1B2n－1＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1＝n＋＋12n＋1＝7＋12n＋1，∴n＝1，2，3，5，11.