希尔伯特的23个问题

希尔伯特的23个问题郁佩1.连续统假设1）康托的连续统假设问题。1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1963年，美国数学家科思证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。2.算术公理的相容性算术公理的相容性哥德尔在1931年证明了希尔伯特关于算术公理化相容性的“元数学”纲领不可能实现。3.两等底等高四面体体积之相等只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思1900年已解决。4直线为两点间的最短距离此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获解决。5.拓扑学成为李群的条件（拓扑群）这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森、蒙哥马利、齐宾共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。6.物理公理的数学处理1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。7.某些数的无理性和超越性需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数。苏联的盖尔封特1929年、德国的施奈德及西格尔1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。8.素数问题素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。9.任意数域中最一般互反律的证明1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。10.丢番图方程可解性判别1970年，苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：不存在判定任一给定丢番图方程有无整数解的一般算法。11.一般代数数域内的二次型论12.类域的构成问题11.德国数学家哈塞和西格尔在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依取得了新进展。12.即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。13.不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？1957年，苏联数学家德阿诺尔解决了这个问题。14.证明某类完全函数系的有限性域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。15.舒伯特计数演算的严格基础一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。16.代数曲线和曲面的拓扑研究有很多重要的结果1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。17.半正定形式的平方和表示实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。18.由全等多面体的构造空间德国数学家比贝尔巴赫1910年，莱因哈特1928年作出部分解决19.正则变分问题的解是否总是解析函数？德国数学家伯恩斯坦（1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决20.研究一般边值问题。此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。21.具有给定单值群的微分方程的存在性此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅作出了出色贡献。22.解析函数的单值化此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。23.发展变分学方法的研究这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。