n次独立重复试验和二项分布

[备考方向要明了]相互独立事件、n次独立重复试验的概率求法是每年高考的热点，特别是相互独立事件、n次独立重复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重，如2012年山东T19等.1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.怎么考考什么[归纳·知识整合]1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A、B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝．P(A)·P(B)P(B)P(A)P(B)②如果事件A与B相互独立，那么，，也相互独立．A与BA与BA与B[探究]1.“相互独立”和“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．3．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为_________计算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)X～B(n，p)成功概率在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)[探究]2.二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系？提示：如果把p看成a,1－p看成b，则Cknpk(1－p)n－k就是二项式定理中的通项．[自测·牛刀小试]1．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝14，则P(EF)的值等于()A．0B.116C.14D.12解析：EF代表E与F同时发生，故P(EF)＝P(E)·P(F)＝116.答案：B答案:CA.316B.1316C.34D.14解析：由P(AB)＝P(A)P(B|A)可得P(A)＝34.2．已知P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则P(A)等于()3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是()A．0.26B．0.08C．0.18D．0.72解析：P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.答案：A解析：设正面朝上X次，则X～B4，23，P(X＝3)＝C34233131＝3281.4．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为23，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是________．答案：3281解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则PA＝C16C27，P(AB)＝1C27，故P(B|A)＝PABPA＝16.5．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．答案：16条件概率[例1](1)甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.66(2)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是______．[自主解答](1)甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，故P(B|A)＝PABPA＝0.120.2＝0.6.(2)记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.故P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.[答案](1)A(2)0.665在本例2中，条件改为“甲厂产品的合格率是95%，其中60%为一级品”，求甲厂产品中任选一件为一级品的概率．解：设甲厂产品合格为事件A，一级品为事件B，则甲厂产品中任一件为一级品为AB，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝95%×60%＝0.57.———————————————————————————————————————————条件概率的求法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝PABPA求P(B|A)；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.1．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n(Ω)＝A25＝20；根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12；于是P(A)＝nAnΩ＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝nABnΩ＝620＝310.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝PABPA＝31035＝12.法二：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝nABnA＝612＝12.相互独立事件的概率[例2]某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为110，不堵车的概率为910；走公路Ⅱ堵车的概率为35，不堵车的概率为25，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P1＝P(A·B)＋P(A·B)＝110×910＋910×110＝950.(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P2＝P(A·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·B·C)＝110×110×25＋110×910×35＋910×110×35＋110×110×35＝59500.[自主解答]记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A，“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B.“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.—————————————————求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)求红队队员获胜总盘数为1的概率．解：(1)设甲胜A为事件D，乙胜B为事件E，丙胜C为事件F，则D，E，F分别表示事件甲不胜A、事件乙不胜B、事件丙不胜C.因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D]E]F、DEF、DE－F－是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立．P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DE－F－)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.即红队队员获胜1盘的概率为0.35.独立重复试验与二项分布[例3]甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，求它是一等品的概率；(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求X的分布列．[自主解答](1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8.所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为P1＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976.(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，它是一等品的概率为P2＝2×0.7＋0.6＋0.84＝0.7.(3)依题意抽取的4件样品中一等品的个数X的可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝4)＝C04×0.74＝0.2401，P(X＝3)＝C14×0.3×0.73＝0.4116，P(X＝2)＝C24×0.32×0.72＝0.2646，P(X＝1)＝C34×0.33×0.7＝0.0756，P(X＝0)＝C44×0.34＝0.0081.∴X的分布列为：X43210P0.24010.41160.26460.07560.0081———————————————————————————————————————————二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．3．如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(1)求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；(2)设X表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求X的分布列；(3)若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．解：(1)设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P(A)，依题意，P(A)＝14.(2)依题意识，X～B3，14，从而X的分布列为：X0123P27642764964164(3)设Bi表示事件“第i次击中目标时，击中B区域”，Ci表示事件“第i次击中目标时，击中C区域”，i＝1,2,3.依题意知P＝P(B1C2C3)＋P(C1B2C3)＋P(C1C2B3)＝3×14×12×12＝316.在应用相互独立事件的概率公式时，要找准关键字句，对含有“至多有一个发生”，“至少有一个发生”，“恰有一个发生”的情况，要结合对立事件的概率求解．1个明确——明确常见词语的含义解题过程中要明确事件中“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词的意义．已知两个事件A，B，则1个技巧——抓住关键词求解相互独立事件的概率(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；(2)A，B都发生的事件为AB；(3)A，B都不发生的事件为AB；(4)A，B恰有一个发生的事件为AB∪AB；(5)A，B至多一个发生的事