2018-2019学年七宝中学高一年级下学期期中考试数学试卷

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中考试数学试卷一.填空题1.函数12sin(4)yx的最小正周期是【答案】：2【解析】：242T2.函数cos2yx的对称轴方程是【答案】2kx，kZ【解析】：2xk，kZ3.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3yx上，则sin2【答案】35【解析】：sin22sincos4.若锐角、满足3cos5，5cos()13，则cos【答案】3365【解析】：coscoscossinsin5.函数2sin(2)3yx的单调递减区间为【答案】511[,]1212kk，kZ【解析】：22,2,322xkkkZ6.已知2sin5x（32x），则x（用反正弦表示）【答案】2arcsin5【解析】：,02x7.方程sin3cos2xx的解是【答案】7212xk或13212xk，kZ【解析】：先用辅助角公式8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，且224()Sabc，则cosC【答案】0【解析】：1sin2SabC，222cos2abcCab9.若将函数()cos()8fxx（0）的图像向左平移12个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是【答案】32【解析】：fxfx10.已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)()||22xxxxfx，对任意xR，都有不等式12()()()fxfxfx恒成立，则21||xx的最小值为【答案】38【解析】：比较sin(2)cos(2)xx和的大小11.已知函数1sin()()20192019xxxfx（xR），下列命题：①函数()fx是奇函数；②函数()fx在区间[2,2]上共有13个零点；③函数()fx在区间(0,1)上单调递增；④函数()fx的图像是轴对称图形.其中真命题有（填所有真命题的序号）【答案】②④【解析】112fxfxx为()fx的对称轴，故①错④对；0,sin0,,.fxxxkkZ所以区间[2,2]有654321,0,1,2,3,4,5,6，，，，，共计13个零点，故②对；01,fffx在区间(0,1)不可能单调，故③错。12.已知k是正整数，且12019k，则满足方程sin1sin2sinsin1sin2sinkk的k有个【答案】11【解析】sin1sin2sin1.k只有当除1k外sin1sin2sinsin1sin2sinkk等式两边都等于0才成立。有正弦函数的性质可知在1360k，时有两解，所以201921=11360二.选择题13.“[,]22x”是“sin(arcsin)xx”的（）【A】充分非必要条件【B】必要非充分条件【C】充要条件【D】既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】前面不能推后面，后面可以推前面14.将函数sin()12yx图像上的点(,)4Pt向左平移s（0s）个单位，得到点P，若P位于函数sin2yx的图像上，则（）【A】12t，s的最小值为6【B】32t，s的最小值为6【C】12t，s的最小值为12【D】32t，s的最小值为12【答案】A【解析】P点代入可求t，在进行平移运算15.若方程212cossin0xxa有实数解，则实数a的取值范围（）【A】9(,]8【B】9[2,]8【C】9[0,]8【D】9[1,]8【答案】B【解析】换元法16.如图，在△ABC中，BCa，ACb，ABc，O是△ABC的外心，ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，则::ODOEOF等于（）【A】::abc【B】cos:cos:cosABC【C】sin:sin:sinABC【D】111::abc【答案】B【解析】如图，连接,,.OAOBOC22,;BOCBACBODBACBOD同理可得,BOFBACAOEABC,设圆的半径为,RcosODRBODA,coscos,OERAOERBcoscosOFRBOFRC,故::=cos:cos:cosODOEOFABC，选B.三.解答题17.已知7cos(23)25，且是第四象限角；（1）求cos和sin的值；（2）求3cos()sin()22tan[cos()1]tan()cos()的值.【答案】（1）34cos=sin=55，（2）89【解析】（1）277cos(23)cos2,12sin2525是第四象限角，43sin=cos=.55，（2）3cos()sin()sincos22tan[cos()1]tan()cos()tancostantancoscoscos81cossin918.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2ab，4c，sin2sinAB.（1）求△ABC的面积S；（2）求sin(2)AB的值.【答案】（1）15；（2）21532.【解析】（1）sin2sin224,2ABababab2222715cossin1cos288acbBBac1sin152ABCSacB（2）22211515cossinsin22sincos2448bcaAAAAAbc7cos28A，715sin22coscos2sin32ABsinABAB19.已知函数()3cos2sin2fxxx.（1）求()yfx的最小正周期和对称中心；（2）将()fx的图像向左移（0）个单位得函数()ygx的图像，若(0,)2，()ygx的一条对称轴为12x，求()ygx，[0,]2x的值域.【答案】（1）T，(,0)62k，kZ；（2）[2,3].【解析】（1）()3cos2sin2=2cos26fxxxx，2,2,,,26262kTxkkZxkZ所以()yfx的最小正周期T，对称中心为(,0)62k，kZ（2）()ygx的一条对称轴为12x，22=12612，(0,)2=2cos236gxx，5511530,,2,cos21,266662xxx2,3gx20.如题所示：扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道PQ、QR、RP，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，直线PQ表示第三条街道.（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、QR每年能产生的经济效益分别为每千米300万元，200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）【答案】（1）23千米；（2）1222万元.【解析】（1）由题意知：302sin301PAQPQ，同理PR=1,120,33QPRQRPQ条街道的总长度23千米。（2）设0,,2sin,PR2sin33PAQPQ,,,APQRAP均在以为直径的圆上，由正弦定理得2sinQRAPRAQ得3QR3002sin2002sin4003332007sinarctan40032T当=arctan530,23时，总效益最高为200740031222万元。21.给出集合{()|(2)(1)(),}MfxfxfxfxxR.（1）若()sin3xgx，求证：函数()gxM；（2）由（1）可知，()sin3xgx是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合M中的元素都是周期函数；命题乙：集合M中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设P为常数，且0P，xR，求()sinhxpxM的充要条件并给出证明.【答案】（1）略；（2）甲真命题，周期为6，乙假命题，如cos3xy；（3）略.【解析】（1）()gxM转化证明12sin1sinsin2333gxgxgxxxx左边=13sin1sin=sincossin3323233xxxxx2sinsin2333xx=右边（2）命题甲为真命题，集合M中的元素都是周期为6的周期函数，验证6fxfx即可；命题乙为假命题，集合M中的元素不都是奇函数。如3gxx为奇函数，sin34xhx不是奇函数。（3）1,nfnaM则21211111nnnnnnaaaaaa假设存在实数,pq满足题设，则2136321121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa所以数列na是周期为6的周期数列，且前6项依次为2，3,2,0，-1,0,61,61,653,62,644,63nnnknnknkSkNnnknknnk当6nk，kN时，11nnSn当61,65nknk，kN时，11=12,1nnSnn当62,64nknk，kN时，351=11,2nnSnn当63nk，kN时，471=1,13nnSnn综上75111,32nnSn，，，要使对任意nN，都有1nnSpqn恒成立，只要75,32pq即可。