人教A版2019高中数学选修1-2习题：第三章3.1-3.1.2复数的几何意义-含答案

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义A级基础巩固一、选择题1．复数z与它的模相等的充要条件是()A．z为纯虚数B．z是实数C．z是正实数D．z是非负实数解析：显然z是非负实数．答案：D2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：两个复数对应的点分别为A(6，5)，B(－2，3)，则C(2，4)，故其对应的复数为2＋4i.答案：C3．已知复数z＝a＋a2i(a0)，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：复数z对应的点Z(a，a2)，又a0，所以a20，因此点Z在第一象限．答案：A4．在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量OB→对应的复数为()A．－2－iB．－2＋iC．1＋2iD．－1＋2i解析：因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以OB→对应的复数为－2＋i.答案：B5．已知复数z对应的向量为OZ→(O为坐标原点)，OZ→与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为()A．1＋3iB．2C．(－1，3)D．－1＋3i解析：因为|OZ→|＝|z|＝2，且OZ→与实轴正方向夹角为120°.设z＝x＋vi(x，v∈R)，则x＝|z|·cos120°＝2cos120°＝－1，y＝|z|sin120°＝3.所以复数z＝－1＋3i.答案：D二、填空题6．在复平面内，O是坐标原点，向量OA→对应的复数为2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为B，则向量OB→对应的复数为________．(2)如果(1)的点B关于虚轴的对称点为C，则点C对应的复数为________．解析：(1)设向量OB→对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A(2，1)，根据对称性可知x1＝2，y1＝－1，所以z1＝2－i.(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知x2＝－2，y2＝－1，所以z2＝－2－i.答案：2－i，－2－i7．若复数z＝a＋3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝________．解析：因为z对应的点在第二象限，知a0，由|z|＝z，得a2＋3＝2，所以a2＝1(a0)，所以a＝－1，因此z＝－1＋3i.答案：－1＋3i8．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1||z2|，则实数b满足的条件是________．解析：由|z1||z2|，得a2＋b2a2＋1，所以b21，解之得－1b1.答案：－1b1三、解答题9．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：(1)位于第二象限？(2)位于直线y＝x上？解：复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．(1)由点Z位于第二象限得a2＋a－20，a2－3a＋20，解得－2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)．(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.10．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－12＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．解：因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－12＋mi(m∈R),所以a＝(－3，0)，b＝－12，m.又a，b的夹角为60°，所以cos60°＝（－3，0）·－12，m（－3）2＋02·－122＋m2，则12＝32314＋m2，解得m＝±32.因此实数m的值为±32.B级能力提升1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z的对应点的轨迹为()A．一个圆B．线段C．两点D．两个圆解析：因为|z|2－2|z|－3＝0，所以(|z|－3)(|z|＋1)＝0，则|z|＝3，因此复数z对应点的轨迹是一个圆．答案：A2．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________．解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由题意，得x＋yi－x2＋y2＝－1＋i，即(x－x2＋y2)＋yi＝－1＋i.根据复数相等的条件，得x－x2＋y2＝－1，y＝1.解得x＝0，y＝1，所以z＝i.法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，等式两边取模，得|z|＝（|z|－1）2＋12.两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.答案：i3．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋log2(m－2)i为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，求|z|.解：由纯虚数的定义知log2（m2－3m－3）＝0，log2（m－2）≠0，解得m＝4.所以z＝4＋ni.因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.则z＝4－2i，故|z|＝42＋（－2）2＝25.