全等三角形课件汇总

三角形与全等三角形基础知识自主学习1．三角形边、角关系：三角形的任何两边之和第三边；三角形的内角和等于.2．三角形的分类：按角可分为和，按边可分为和．要点梳理大于180°直角三角形斜三角形不等边三角形等边三角形3．三角形中的主要线段：(1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等．(2)中线：连结三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心．(3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心．(4)中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．4．外心：三角形三边的中垂线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．5．全等三角形的性质和判定：(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等.(2)判定：①对应相等的两个三角形全等(SAS)；②对应相等的两个三角形全等(ASA)；③对应相等的两个三角形全等(AAS)；④对应相等的两个三角形全等(SSS)；⑤对应相等的两个直角三角形全等(HL)．两边和夹角两角和夹边两角和其中一角的对边三边斜边和一条直角边[难点正本疑点清源]1．三角形的分类按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来．选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定．2．提高运用全等三角形解决几何证明问题的能力用全等三角形解决几何证明问题，要灵活运用题设条件，结合待证结论，对照图形，从不同角度去试探，不要怕碰壁，要善于分析，总结规律，并加以适当练习，一定能提高运用全等三角形证题的能力．证明三角形全等的过程中，应遵循以下几点：(1)先指明在哪两个三角形中研究问题；(2)按边、角的顺序列出全等的三个条件(对于直角三角形有两个条件)，并用大括号括起来；(3)写出结论，将两个全等三角形中表示对应顶点的字母写在对应的位置上；(4)在证明过程中要步步有依据．判定三角形全等的基本思路是：(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等．另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件．如果待证结论所在的两个三角形不全等，则需要添加辅助线，构造全等三角形．构造的常用方法有：(1)若已知三角形的中线，往往会用到“中线倍长”的方法；(2)可通过作平行线，构造相等的角，创造三角形全等的条件；(3)截取相等线段或相等角，创造条件．在实际解题过程中，要注意结合题意，采取不同的辅助线作法，并注意及时总结．基础自测1．(2011·滨州)某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是()A.1B．5C．7D．9答案B解析这个三角形第三边x的范围是4－3x4＋3，即1x7，只有5在此范围内．2．(2011·苏州)△ABC的内角和为()A．180°B．360°C．540°D．720°答案A解析根据内角和定义可知．3．(2011·济宁)如图，AE∥BD，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠C的度数是()A．10°B．20°C．30°D．40°答案B解析由AE∥BD，得∠AED＝∠2＝40°.在△ACE中，∠C＝180°－∠1－∠AED＝180°－120°－40°＝20°.4．(2011·衢州)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析因为PA⊥ON，且PA＝2，可知点P到ON的距离等于2，根据OP平分∠MON，角平分线上的点到角两边的距离相等，当PQ⊥OM时，PQ的值最小，为2.5．(2011·上海)下列命题中，真命题是()A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等解析设两个等腰直三角形的直角边分别为a、b，其周长(2＋2)a＝(2＋2)b，则a＝b，可知这两个三角形必全等．答案D题型分类深度剖析【例1】(1)(2011·河北)已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为()A．2B．3C．5D．13答案B解析∵13－2x13＋2，即11x15.∴整数x的值为12,13,14，这样的三角形有3个．题型一三角形的三边关系探究提高三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a、b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|ca＋b.(2)已知等腰三角形的一边长等于12cm，腰长是底边长的34，则它的周长是多少？解①当12cm的边是三角形的腰长时，则底边＝12÷34＝16，三角形的周长＝12＋12＋16＝40(cm)；②当12cm的边是三角形的底边时，则腰长＝12×34＝9，三角形的周长＝12＋9＋9＝30(cm)．答：三角形的周长等于40cm或30cm.知能迁移1(1)(2012·青海)等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为________．答案22解析∵4＋4＝89，∴第三边长只能为9，周长＝4＋9＋9＝22.(2)(2011·南通)下列长度的三条线段，不能组成三角形的是()A．3,8,4B.4,9,6C．15,20,8D.9,15,8答案A解析因为3＋48，所以长度为3,8,4的三条线段不能组成三角形．题型二三角形的内角、外角的性质【例2】一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格，请说明理由．解延长BD交AC于E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝122°.同理，∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋122°＝143°≠148°.∴这个零件不合格．探究提高有关求三角形角的度数的问题，首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”．知能迁移2如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“”表示∠BPC、∠BDC、∠BAC之间的关系．解∵∠BPC是△PCD的外角，∴∠BPC∠BDC，同理∠BDC∠BAC.∴∠BPC∠BDC∠BAC.题型三运用全等三角形的判定【例3】已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．解证明：AD＝BE，∠A＝∠FDE，无法判定△ABC≌△DEF，这是假命题．添上一个条件，比如AC＝DF.∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE.又∠A＝∠FDE，AC＝DF.∴△ABC≌△DEF(SAS)．亦可添加：∠C＝∠F，或∠ABC＝∠E.探究提高本题可运用多种判定方法得到三角形全等的结论，但切记“两边一对角”是不能判定两个三角形全等的．知能迁移3(2012·金华)如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B、C重合)，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1)你添加的条件是：____________________；(2)证明．解(1)在BD＝DC(或点D是线段BC的中点)，FD＝ED，CF＝BE中，任选一个即可．(2)以BD＝DC为例进行证明．∵CF∥BE，∴∠FCD＝∠EBD.又∵BD＝DC，∠FDC＝∠EDB，∴△BDE≌△CDF.题型四运用全等三角形的性质【例4】已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥DF，求证BE＋CFEF.解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！证明：延长ED到M，使DM＝ED，连接CM、FM.∵D是BC的中点，[2分]∴BD＝CD.在△EDB与△MDC中，∴△EDB≌△MDC(SAS)．[6分]∴BE＝CM.在△FMC中，CF＋CMMF，又∵ED⊥DF，ED＝DM，∴EF＝FM.∴CF＋CMEF，即CF＋BEEF.[8分]探究提高利用中线加倍延长法，把BE、CF、EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证．知能迁移4(2011·浙江)如图，点D、E分别在AC、AB上．(1)已知：BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC；(2)分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE”记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是命题2的____命题，命题2是______命题．(选择“真”或“假”填入空格)．解证明：(1)连接BC，∵BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB，∴△DBC≌△ECB(SSS)．∴∠DBC＝∠ECB.∴AB＝AC.(2)逆，假．答题规范考题再现如图，AB＝AC，D、E分别在AB、AC上，且CD＝BE，求证：∠ADC＝∠AEB.学生作答证明：在△ADC和△ABE中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ADC＝∠AEB.8．留心“边边角”规范解答证明：连接BC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.在△DBC和△ECB中，∴△DBC≌△ECB(SAS)．∴∠BDC＝∠CEB.∴∠ADC＝∠AEB.老师忠告1．先看一个事实，如图，将等腰△ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的△DAB和△DAC无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．2．全等三角形的证明是几何证明的基础，关系到以后几何学习的成败，要熟练掌握判定三角形全等的方法，有“边边边”，“边角边”，“角角边”及“斜边、直角边”．3．怎样添加辅助线：做个比喻，思考某些题目，在沟通已知和结论的途中，一条河挡住了道路，这时添加必要的辅助线，就好像在河上架起桥梁．添加辅助线的原则一是当分析思考出现上述需要时才添加，而不要在思考伊始就乱连乱添，把图形复杂化，反而把思路搞乱；原则二是顺着思考分析的方向，注意沟通过程中的需要，而水到渠成地添上适宜的一笔；原则三是注意总结在什么情况下需要怎样添加的规律，如对于涉及(指题设或结论中出现)三角形的(中点)中线的问题，可以把该中线延长一倍，再把其端点和中点所在的边的端点相连结，构成三角形全等.思想方法感悟提高方法与技巧1.三角形涉及的相关概念较多，准确地理解概念，掌握分类的思想方法，养成全面、周到地考虑问题的习惯．2.三角形全等的判定定理和性质定理，直接或间接地推出平面几何中绝大多数的定理；判定三角形全等并利用三角形全等的性质，是不少题目解决过程中重要的一步，因此，要学会完成证明的思考方法，培养和提高逻辑思维和推理的能力．3.平面几何主要学习的内容是推理论证，对于一道题目，如何去想出它的证法，基本的思考方法有：(1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，分别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；(2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；(3)顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法．4.证明三角形全等的两种基本思考途径：(1)当图形明显具有对称性(轴对称或中心