1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

旧知回顾求函数的导数的方法是:00f(x+Δx)-f(x)Δy=;ΔxΔxΔx→0Δyy=lim.Δx（1）求增量（2）算比值（3）求极限0)()(0xxxfxf知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),yfxcyfxxyfxxyfxx'1y；'2yx；21'.yx'0y；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x2的导数是=-2/x3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：;xf,cxf.'01则若;nxxf,Nnxxf.n'n12则若;xcosxf,xsinxf.'则若3;xsinxf,xcosxf.'则若4;alnaxf,axf.x'x则若5基本初等函数的导数公式;exf,exf.x'x则若6;alnxxf,xlogxf.'a17则若.xxf,xlnxf.'18则若例1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有函数关系，其中为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？015%tptp0p01p'1.05ln1.05.tpt./..ln.p,'年元所以0800510511010解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？05p当时，，这时，求P关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)=乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p51.05tpt1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即　(uv)uv例2'23cosxxy求y=+sinx的导数.3x解：由导数的基本公式得：例3'3'421xxy解：由导数的基本公式得：求的导数.42y=x-x-x+32.积的导数法则2两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即fxgx=fxgx+fxgx′′′uCCu)(:推论知识拓展22y=2x-3x+5x-4？求的导数例4'4655yxxx解：由导数的基本公式得：例52y=(2x+3)(3x-2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889yxxxxxxxx解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()xxfxgxfxgxgx2xy=sinx的导数.例62'2''2()sin(sin)sinxxxxyx解：222sincossinxxxxx例72x+3y=x=3x+3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)xxxyx解：22263(3)xxx'329183241|(93)1446xy2fxfxgxfxgx3.gx0.gxgx′′′导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g(x)′;2.[f(x).g(x)]′=f′(x)g(x)±f(x)g(x)′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x-2），则y=lnu.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=lnu和u=x+2（x-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为xuxy=yu′′′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.xux13y=yu=lnu3x+2=3=u3x+2′′′′′问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x的导数等于y=㏑u对u的导数与u=3x+2对x的导数的乘积，即)(xf例82y=2x+3求函数的导数.'''xuxyyu''223ux4812.ux解：函数可以看作函数和的复合函数.由复合函数求导法则有223yx2yu23ux课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则2fxfxgx-fxgx3.=gx0gxgx′′′1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g(x)′2.[f(x).g(x)]′=f′(x)g(x)±f(x)g(x)′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接(2008海南、宁夏文)设，若()lnfxxx，则（）A.B.C.D.0'()2fx0x2eeln22ln2B2axya062yxa121-21(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点（1,)处的切线与直线平行,则A．1B．C．D．()A随堂练习''3'''32323yxxxx解因为232.x1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数的导数.323yxx随堂练习0.0511;2sin,.xyeyx其中均为常数2、求下列函数的导数u-0.05x+1=-0.05e=-0.05e.xuxy=yu′′′u=e-0.05x+1′′（1）函数可以看做函数和的复合函数.由复合函数的求导法则有-0.05x+1y=euy=eu=-0.05x+12y=sinπx+φy=sinuu=πx+φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有.φxπcosπucosπ'x'u'xuyy''φxπusin习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6)5.12.(1);ln2fxxffyx所以，'(2)2;xye'4(3)106;yxx'(4)3sin4cos;yxx''1(5)sin;331(6).21xyyx