1.3.1函数的单调性与导数

旧知回顾'''1).;fxgxfxgx'''2).;fxgxfxgxfxgx导数运算法则旧知回顾'''23).0.fxfxgxfxgxgxgxgxPxyOTQ割线切线导数的几何意义：过曲线y=f(x)上的切线的斜率等于函数在处的导数.00,y(x）0x函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数.yxoabyxoab若f(x)在G上是增函数或减函数，G称为单调区间G=(a,b)则f(x)在G上具有严格的单调性.1.3导数在研究函数中的应用导数应用的知识网络结构图：yoxxyoxyoxy1yx2yx3yx函数在R上'()10fx（-∞，0）（0，+∞）'()20fxx'()20fxx函数在R上2'()30fxx（-∞，0）2'()0fxx（0，+∞）2'()0fxxyox在某个区间（a，b）内，①如果f'(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增.②如果f'(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.1.如果在某个区间内恒有f'(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？2.回顾一下函数单调性的定义，利用平均变化率的几何意义，研究单调性的定义与其导数正负的关系？已知导函数f'(x)下列信息：①当1x4时，f'(x)0;②当x4,或x1时，f'(x)0;③当x=4,或x=1时，f'(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.O14xyy=f(x)解当1x4时，单调递增；f′(x)0，可知f(x)在此区间内当x4或x1时，f′(x)0，可知f(x)在此区间内单调递减；当x=4或x=1时，f′(x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.综上，函数f(x)图像的大致形状如右图所示.判断函数，的单调性，请求出其单调区间.32f(x)=2x-6x+7解：函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)'2f(x)=6x-12x令6x2－12x0，解得x2或x0∴当x∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数令6x2－12x0，解得0x2∴当x∈(0,2)时，f(x)是减函数.xyo32321fx=x+3x;2fx=x-2x-3;3fx=sinx-x,x0,π;4fx=2x+3x-24x+1.3'221fx=x+3x,fx=3x+3=3x+10.解因为所以3,fx=x+3xxR,1.3-51.因此函数在上单调递增如图所示xyox3xxf3153.1图判断下列函数的单调性，并求出单调区间：2'2fx=x-2x-3,fx=2x-2=2x-1.因为所以'2fx0,x1,fx=x-2x-3;当即时函数单调递增'2fx0,x1,fx=x-2x-3.当即时函数单调递减2fx=x-2x-31.3-52.函数的图象如图所示xyo2fx=x-2x-31.3-521xyofx=sinx-xn1.3-53π.xf,π,0x,xxsinxf3'所以因为.353.1.π,0x,xxsinxf,所示如图内函数因此cosx-1递减.453.11x24x3x2xf23所示的图象如图因为所以324fx2x3x24x1,;xf,,0xf'函数时即当.xf,,0xf'函数时即当15Oxy1x24x3x2xf23453.1图2f(x)6x6x24′（1）确定函数y=f(x)的定义域D；（2）求导数f′(x)；（3）解不等式f′(x)0，解集在定义域内D的部分为增区间；（4）解不等式f′(x)0，解集在定义域D内的部分为减区间．如图1.3-6，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图像.63.1图1234AothBothCothDoth解1→B,2→A,3→D,4→C.例4表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增与减，还可以看出其增减的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗？oxyaa73.1图一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，函数的图像就比较“陡峭”，反之，函数的图像就“平缓”一些.如图所示.课堂小结''在某个区间a,b内,如果fx0,那么函数y=fx在这个区间内单调递增;如果fx0,那么函数y=fx在这个区间内单调递减.一般地,函数的单调性与导数的关系：利用函数的导数来研究函数的单调性.其基本的步骤为:①求函数的定义域;②求函数的导数;)(xf③解不等式0得f(x)的单调递增区间;解不等式0得f(x)的单调递减区间.)()(xfxf高考链接（福建11）如果函数y=f(x)的图象如图1，那么导函数/y=f(x)的图象可能是（）A评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注意函数的单调性与导函数的正、负的关系.21f(x)=-x+bln(x+2)(-1,+)2在（湖北卷7）若上是减函数，则b的取值范围是（）A.[-1,+∞)(1,)(,1](,1)B.C.D.C解析:由条件，函数上是减函数，则.21f(x)=-x+bln(x+2)(-1,+)2在f(x)0，32()15336fxxxx（09江苏）的单调减区间是解析:由条件，令函数2'330330fxxx则函数的单调递减区间为1,111,11随堂练习函数3yaxx在R上是减函数，则（）.1Ba.0Ca.0Da1.3AaD设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数f'(x)的图象可能是（）(A)(B)(C)(D)D已知函数224,fxxx则fx的单调区间为已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，则k=____.随堂练习1已知函数,则f(x)的单调减区间为____.随堂练习2()24fxxx,1讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当或时，f(x)是增函数.(3,)x(,1)x令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当时,f(x)是减函数.(1,3)x