概率论习题及答案

练习八班级_____________姓名_____________1.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律.解：（X，Y）的可能取值为(i,j)，i=0，1，2，3，j=0，12，i+j≥2，联合分布律为P{X=0,Y=2}=351472222CCCP{X=1,Y=1}=35647221213CCCCP{X=1,Y=2}=35647122213CCCCP{X=2,Y=0}=353472223CCCP{X=2,Y=1}=351247121223CCCCP{X=2,Y=2}=353472223CCCP{X=3,Y=0}=352471233CCCP{X=3,Y=1}=352471233CCCP{X=3,Y=2}=0XY0123000353352103563512352235135635302.设随机变量（X，Y）概率密度为其它,042,20),6(),(yxyxkyxf（1）确定常数k；（2）求P{X1,Y3}；（3）求P(X1.5}；（4）求P(X+Y≤4}.解：（1）∵2012)6(),(1dydxyxkdydxyxf，∴81k（2）83)6(81)3,1(3210dyyxdxYXP（3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10dyyxdxYXPXP（4）32)6(81)4(4020dyyxdxYXPx3.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求的随机变量（X,Y）的边缘分布律.XY0123P(Y=j)0003533527110356351235235202351356353072P(X=i)3513512351835414.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其它,01,),(22yxycxyxf（1）试确定常数c;（2）求边缘概率密度.解:l=42121432),(1025210ccdyycydxcxdydxdyyxfyy其它,011),1(821421)(~42122xxxydyxxfXxX其它01027421)(~252yyydxdyfYyyYxoyy=x2Y练习九班级_____________姓名_____________1.设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的.A，B均有两个加油管.随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为X01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30(1)求至少有一根软管在使用的概率；(2)求在0X的条件下Y的条件分布律；在1Y的条件下X的条件分布律.(3)问随机变量X和Y是否相互独立?解：（1）至少有一根软管在使用的概率为9.01.01}0,0{1}1{YXPYXP（2）根据公式}0{}0,{}0|{XPXiYPXiYP，得到在0X的条件下Y的条件分布律为Y012}0|{XYP5/121/31/4类似地，在1Y的条件下X的条件分布律为X012}1|{YXP4/1710/173/17（3）P（X=0，Y=0）P（X=0）P（Y=0）所以随机变量X和Y不是相互独立.2.设随机变量（X，Y）在由曲线xyxy,2所围成的区域G均匀分布.(1)问随机变量X和Y是否相互独立?(2)求条件概率密度)|(|xyfXY.解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(31),(),(1210yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG，得到他其，0),(,3),(Gyxyxf。他其，,010)(33),()(22xxxdydyyxfxfxxX；他其，，他其，，010)(30103),()(22yyyydxdxyxfyfyyY)()(),(yfxfyxfYX所以随机变量X和Y不是相互独立.（3）当10x时，其他,0,1)(),()|(22|xyxxxxfyxfxyfXXY3.设X与Y为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为()PXn1()()2nPYn，1,2,n，求XY的分布列.解设ZXY，Z的分布为11()()()()kiPZkPXYkPXiPYki1111()()22kikii1(1)()2,3,2kkk4.设,XY相互独立，其概率密度分别为1,01,()0,;Xxfx其他,0,()0,0.yYeyfyy求XY的概率密度.解:设ZXY，由卷积分式，Z的概率密度为()()()ZXYfzfzyfydy,0,01,()()0,.yXYeyzyfzyfy其它不等式0,01yzy确定平面域D如图.当0z时，()0Zfz10zyD当01z时，0()zyZfzedy01zyzee当1z时，1()(1),zyzZzfzedyee综上所述0,0,()1,01,(1),1.zZzzfzezeez解2变量代换法：()()()ZXYfzfxfzxdx，注意到当01x时()Xfx=1，有110()()()()()uzxzZXYYYzfzfxfzxdxfzxdxfudu令1(),zYzfudu0,0,(),0.Yuufueu所以，当0z时，()0Zfz，当01z时，0()1zuzZfzedue，当1z时，1()(1)zuzZzfzeduee.综上所述0,0()1,01,(1),1.zZzzfzezeez5.设X和Y为两个随机变量，且34{0,0},(0)(0),77PXYPXPY求{max(,)0}.PXY解{max(,)0}{(0)(0)}(0)(0)PXYPXYPXPY4435{0,0}.7777PXY6.假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布.解设T的分布函数为()TFt，第i件元件的寿命为iX，其分布函数为()Fx.则123()(){min(,,)}TFtPTtPXXXt31[1()]Ft31,0,0,0.tett即~(3)TE练习十班级_____________姓名_____________1.设随机变量X的分布为X－202Pk0.40.30.3求E(X)，E(3X2+5).解：E(X)=(－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2E(X2)=(－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+E(5)=8.4+5=13.42.设随机变量X的概率密度为0,00,)(xxexfx求（1）Y=2X（2）Y=e－2x的数学期望。解：（1）02)(2)(dxxedxxxfYEx2022xxexe（2）022)()(exeedxxfeYExxx310313xe3.设二维随机变量(,)XY的概率密度为1,||,01,(,)0,.yxxfxy其它求,,,(21)EXEYEXYDX.解11200223xxEXxdydxxdx；100xxEYdxydy；100xxEXYxydydx；1122300122xxEXxdydxxdx，2121()2318DX；42(21)4.189DXDX4.设随机变量X1，X2的概率密度分别为0,00,4)(000,2)(4221xxexfxxexfxx求（1）E(X1+X2)，E(2X1－322X)；（2）又设X1，X2相互独立，求E(X1X2)解：（1）0042212142)()()(dxexdxexXEXEXXExx=4341210410214422xxxxexeexe（2）04222122143212)(3)(2)32(dxexXEXEXXEx=858310812314442xxxeexex（3）814121)()()(2121XEXEXXE5.设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1，标准差（均方差）为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量23ZXY的概率密度.解因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，所以2~(,)ZN其中(23)235EZEXYEXEY2(23)49DZDXYDXDY所以Z的概率密度为2(5)181(),32zZfzez6.设,XY是两个相互独立的且均服从正态分布1(0,)2N的随机变量，求||EXY与||DXY.解:设ZXY，则~(0,1)ZN2222012||||||22zzEXYEZzedzzedz22022(|)ze；22||1EXYEZDZ，所以222()||(||)1DXYZXYEXY.7.设随机变量X和Y的联合分布为：XY－101－18181810810811818181验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。证：∵P[X=1Y=1]=81P[X=1]=83P[Y=1]=83P[X=1Y=1]≠P[X=1]P[Y=1]∴X，Y不是独立的又E(X)=－1×83+0×82+1×83=0E(Y)=－1×83+0×82+1×83=0COV(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}=E(XY)－EX·EY=(－1)(－1)81+(－1)1×81+1×(－1)×81+1×1×81=0∴X，Y是不相关的8.设随机变量（X1，X2）具有概率密度。)(81),(yxyxf，0≤x≤2,0≤y≤2求E(X1)，E(X2)，COV（X1，X2），)(2121XXDρXX.解：67)(81)(20202dyyxxdxXE67)(81)(20202dyyxydxXE)}67)(67{()(2121XXEXXCOV361)(81)67)(67(2020dyyxyxdx361167)(81)]([)()(22022021211dyyxxdxXEXEXD361167)(81)]([)()(22022022222dyyxydxXEXEXD1113611361),(2121DXDXXXCOVXYD(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2COV(X1,X2)=95)361(2361136119.设X～N（μ，σ2），Y～N（μ，σ2），且X，Y相互独立。试求Z1=αX+βY和Z2=αX－βY的相关系数（其中是不为零的常数）.,解：由于X，Y相互独立Cov