2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷

第1页（共27页）2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝（﹣∞，1]，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．2．（5分）设复数z＝a+i（其中i为虚数单位），若，则实数a的值为．3．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝．4．（5分）从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为．5．（5分）如图所示流程图中，若输入x的值为﹣4，则输出c的值为．6．（5分）若双曲线的离心率为2，则实数m的值为．7．（5分）已知y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex+1，则f（﹣ln2）的值为．8．（5分）已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为．9．（5分）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B﹣EFC的体积为．第2页（共27页）10．（5分）设A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，点P∈A，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为．11．（5分）设函数，其中ω＞0．若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是．12．（5分）若正实数a，b，c满足ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则c的最大值为．13．（5分）设函数f（x）＝x3﹣a2x（a＞0，x≥0），O为坐标原点，A（3，﹣1），C（a，0）．若对此函数图象上的任意一点B，都满足成立，则a的值为．14．（5分）若数列{an}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝＝，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有an＜m成立，则m的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，记△ABC的面积为S，且．（1）求角A的大小；（2）若c＝7，，求a的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，且A1F⊥B1C1．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）A1F∥平面ADE．第3页（共27页）17．（14分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6．（1）求实数m的值；（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：ln6＝1.8）18．（16分）已知椭圆的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k（x﹣m）（m∈R）与椭圆C相交于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2．①若m＝0，求k1k2的值；②若，求实数m的值．19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．设函数f（x）＝x3﹣tx2+1（t∈R）．（1）若函数f（x）在（0，1）上无极值点，求t的取值范围；（2）求证：对任意实数t，在函数f（x）的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t＝3时，若函数f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由．20．（16分）已知数列{an}，其中n∈N*．（1）若{an}满足．第4页（共27页）①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r+t，且ar，as，at成等差数列，求q的值．（2）设数列{an}的前n项和为bn，数列{bn}的前n项和为cn，cn＝bn+2﹣3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且恒成立，求k的最小值．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）直线l：2x﹣y+3＝0经过矩阵M＝变换后还是直线l，求矩阵M的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．以极点O为原点，极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被圆C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数x、y、z，满足x+y+z＝3xyz，求xy+yz+xz的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣EC﹣D的余弦值．25．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有＝成立．第5页（共27页）（1）求a3的值；（2）证明：数列{an}是等差数列．第6页（共27页）2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝（﹣∞，1]，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，1}．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】逐一判断元素与两集合的关系，再求交集得解．【解答】解：因为：﹣1∈A，﹣1∈B，1∈A，1∈B，2∈B，2∉A，故A∩B＝，故答案为：{﹣1，1}．【点评】本题考查了交集及其运算，属简单题．2．（5分）设复数z＝a+i（其中i为虚数单位），若，则实数a的值为±1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知得a2＝1，得a＝±1．【解答】解：∵z＝a+i，，∴a2+1＝2，∴a2＝1，∴a＝±1．故答案为：±1．【点评】本题考查了复数的运算性质，属基础题．3．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝80．【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版权所有【分析】根据数量比2：3：5得到A被抽的比例，进而得到抽到的数量．【解答】解：n×第7页（共27页）∴n＝80故答案是80【点评】本题主要考查分层抽样方法．4．（5分）从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】先写出从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，再找出两位数是偶数，然后相比就可以了．【解答】解：从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，有：12，13，23，21，31，32，共6个基本事件，其中满足条件的有2个，故两位数是偶数的概率为：【点评】从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为p（A）＝5．（5分）如图所示流程图中，若输入x的值为﹣4，则输出c的值为4．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】27：图表型；38：对应思想；4O：定义法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟流程图的运行过程，即可得出程序运行后输出的c值．【解答】解：模拟流程图的运行过程如下，输入x＝﹣4时，x＝﹣4+2＝﹣2，第8页（共27页）x＝﹣2+2＝0，x＝0+2＝2，c＝2×2＝4，则输出c＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了程序运行的应用问题，是基础题．6．（5分）若双曲线的离心率为2，则实数m的值为6．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】由双曲线的离心率为2，利用双曲线的简单性质，由已知条件能求出实数m的值．【解答】解：∵双曲线的离心率为2，∴＝2，解得m＝6．故答案为：6．【点评】本题考查双曲线中实数m的值的求法，解题时要认真审题，熟练掌握双曲线线的简单性质，是基础题．7．（5分）已知y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex+1，则f（﹣ln2）的值为﹣3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（ln2）的值，又由函数为奇函数，可得f（﹣ln2）＝﹣f（ln2），计算可得答案．【解答】解；根据题意，当x＞0时，f（x）＝ex+1，则f（ln2）＝eln2+1＝3；又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣3；故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题．第9页（共27页）8．（5分）已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为16．【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a5．【解答】解：∵等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，a2＝2，S3＝7，∴，解得a1＝1，q＝2，∴a5＝＝1×24＝16．故答案为：16．【点评】本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B﹣EFC的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】推导出＝，F到平面ABC的距离d＝＝＝2，三棱锥B﹣EFC的体积为VB﹣EFC＝VF﹣BCE，由此能求出三棱锥B﹣EFC的体积．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，第10页（共27页）∴＝＝，F到平面ABC的距离d＝＝＝2，∴三棱锥B﹣EFC的体积为：VB﹣EFC＝VF﹣BCE＝＝＝．故选：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．（5分）设A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，点P∈A，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为1．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】根据题意，设直线l为3x+4y＝7，圆（x+1）2+y2＝r2的圆心为M；由二元一次不等式的几何意义可得集合A的几何意义，进而分析可得若∠APB的最大值为，必有MP的距离最小，此时P在直线3x+4y＝7上且MP与直线l垂直，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，设直线l为3x+4y＝7，圆（x+1）2+y2＝r2的圆心为M，则A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，为直线3x+4y＝7的上方以及直线部分，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为，必有MP的距离最小