小学奥数-等积变形与一半模型习题集

等积变形与一半模型习题集【例1】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．（1）求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？（2）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？DCBA【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD的面积高高1226三角形ABC的面积高高124（）28三角形ADC的面积高高422所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍；43三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍．【例2】如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，ABFECDEFAB4BC3那么图中阴影部分的面积是（）平方厘米．FEDCBA【解析】图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即(平方ABCD4326厘米)．【例3】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米．【例4】如下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形AFEBFDCEABCDABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．ABCDEF【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为．120121202【例5】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形ABCD56EFG边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．ABCDHAD【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接、．BHCH∵，AEEB∴．AEHBEHSS△△同理，，，BFHCFHSS△△S=SCGHDGH∴11562822ABCDSS阴影长方形【例6】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二ABCDP等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．P【解析】特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设PP点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形A的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为1416平方厘米．2116()1546【例7】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．FEDCBA【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半，24212三角形ADE又是三角形ADC面积的一半．1226三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积．623【例8】如图所示，、、都是正方形边的中点，△比△大平方ABCCODAOB15厘米。△的面积为()平方厘米。AOBOEDCBA【解析】，所以，。215CODABOBCDABDABDSSSSScm27.5ABOScm【例9】如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且ABCD1MADNAB.那么，阴影部分的面积是多少？2ANBN【解析】连接，因为是中点所以的面积为又因为，所BMMABM△142ANBN以的面积为，又因为面积为，所以阴影部分BDC△1114312BDC△12的面积为：.115112212【例10】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则，12112364AB，24124483CD所以，阴影部分面积为。1113412MN211(12243648)5(cm)212【例11】如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形ABCADEDCEBCD的面积分别是89，28，26．那么三角形的面积是．DBE【解析】根据题意可知，，8928117ADCADEDCESSS所以，::26:1172:9BDCADCBDADSS那么，::2:9DBEADESSBDAD故。222789(901)20199999DBES【例12】如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．DCBA【解析】如右图，作AB的平行线DE．三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：21054(分米)，梯形面积是：(平方分米)。154230【例13】图中AOB的面积为，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形215cmABCD的面积．OCBDA【解析】在中，因为，且，所以有．ABD215cmAOBS3OBOD235cmAODAOBSS因为和等底等高，所以有．ABDACDABDACDSS从而，在中，，所以梯形面积：215cmOCDSBCD2345cmBOCOCDSS。2155154580cm（）【例14】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的，黄色三角形面积是．问：长方形的面积是多少平方厘米？15%221cm红绿黄红【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的，50%而绿色三角形面积占长方形面积的，所以黄色三角形面积占长方形15%面积的．已知黄色三角形面积是，所以长方形面50%15%35%221cm积等于（）。2135%602cm【例15】有如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，ABCD20BPC15求阴影的面积．BPD【解析】连接交于点，并连接．如下图所示，ACBDOPO可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有：//PODCDPOCPO，BPOCPOBPOPDOBPDSSSSS因为，所以。1120544BOCABCDSS15510BPDS【例16】如右图，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米．求三12AD3DE角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？EDCBA【解析】因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面积1226BCBC三角形EBC的面积321.5BCBC所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．【例17】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？△FDECBA【解析】AEC、AFC、ABF．△△△【例18】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长ABCDBCAD是长的3倍，的长是长的3倍．那么三角形的面积是AEEFBFAEF多少平方厘米？【解析】，等高，所以面积的比为底的比，有,ABDABC12ABDABCSBDSBC所以=(平方厘米)．同理有ABDS111809022ABCS(平方厘米)，190303ABEABDAESSAD34AFEABEFESSBE(平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米．3022.5AEF【例19】如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果ABCDYBDZDY厘米，厘米，求三角形的面积．24AB8BCZCYABCDZY【解析】∵是的中点，是的中点，∴，，YBDZDY1122ZYDB14ZCYDCBSS又∵是长方形，∴(平方厘米)．ABCD11124442ZCYDCBABCDSSS【例20】如图，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分别为AB8BC和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？FECBA【解析】∵是的中点FAC∴2ABCABFSS同理2ABFBEFSS∴(平方厘米)．486246BEFABCSS【例21】图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，再连接PC。则图中阴影部分的面积是()平方厘米。PABCDEF【解析】如图,连接AE，BD。因为AD∥BC，则：,又AB∥ED，则：PDCPDBSS△△,所以，EADEBDSS△△（平116.363.1822EPDPDCEPDPDBEDAADEFSSSSSSS△△△△△△阴影方厘米）PABCDEF说明：答案和直角梯形形状无关，可以让BC边趋近AD边，直到和AD边重合，此时，P与A重合，PE是ADEF的对角线，所以，阴影部分的面积是ADEF面积的一半，等于3.18平方厘米。【例22】平行四边形ABCD如图，面积为30，求ΔABC的面积。CDBA【解析】15.【例23】大正方形边长为8，小正方形边长为6，求ΔABC的面积。DCFEBA【解析】18（等积变形，小正方形面积的一半）【例24】大正方形边长为8，小正方形边长为6，求ΔABC的面积。DCBFAE【解析】32（大正方形面积的一半）【例25】ΔABC的面积为8，小正方形ABDE的边长。EDCBA【解析】4（小正方形面积为16，边长为4）【例26】简单说一下等积变形的原理。【解析】平行线间距离处处相等，构造相等面积的图形【例27】ΔABC的面积为8，D为BC中点，E，F分别为BD，DC中点求ΔAEF的面积ABCFED【解析】4（两个一半模型，线AD两边的阴影各为一半，8÷2=4）【例28】ΔABC的面积为8，D为AB中点，E为AD中点，求阴影部分的面积。ABCED【解析】4（ΔBED为ΔABD的一半，ΔDEC为ΔADC的一半，总面积的一半为4）。【例29】已知平行四边形ABCD，EFGH。阴影部分的面积和为20，求空白部分的面积DCBA【解析】20（空白部分面积为一半，阴影部分面积相等20）【例30】已知空白部分的面积是10，求阴影部分的面积【解析】10（阴影部分面积也为一半，与空白部分面积相等）【例31】长方形的长为4，宽为6，D为AB中点，E为BC边上任意一点，求ΔADE的面积ABCFED【解析】6（阴影部分面积为四分之一，长方形面积为24）【例32】长方形ABCD面积为20.D，E分别为AB，CF的中点。求阴影部分的面积ABCFED【解析】5（面积为四分之一）【例33】长方形面积为30，求空白部分的面积【解析】15【例34】长方形中，三部分的面积为，11，37，22求阴影部分的面积。223711【解析】70（11+37+22）。【例35】梯形ABCD，面积为16，求阴影部分的面积。E中中DABC【解析】8（阴影部分面积为一半）【例36】阴影部分的面积为15，求四边形ABCD的面积。F中中E中中DABC【解析】30（连接对角线做辅助线，知阴影部分面积为四边形面积的）。【例37】已知长方形ABCD的长AB=8，宽AD=5，则阴影部分的面积是多少？【解析】连接BC，由于AB和CD平行，所以三角形BCD和三角形CDE的面积相等。所以阴影部分的面积为：8×5÷2=20【例38】如图所示，D是△ABC上的一点，E为BD的中点，F为CD的中点。三角形ABE的面积是17，三角形AFC的面积是13.求阴影部分的面积是多少.【解析】由于E、F分别为中点，所以ABE和AED面积相等，ACF和ADF面积相等。那么阴影部分的面积为：17＋13＝30.【例39】大正方形ABCD边长为8，小正方形CEFG边长为6，连接BG、BF,请求出三角形BGF的面积。【解析】连接CF，由于GB和CF平行，可得三角形BGF和CGF面积相等，所以阴影部分的面积为：6×6÷2＝18