2016-2017学年高中数学人教A版选修4-4学业分层测评3-简单曲线的极坐标方程

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示()A．直线B．射线C．圆D．椭圆【解析】由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故选C.【答案】C2．过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为()A．θ＝π3B．θ＝π3，ρ≥0C．θ＝4π3，ρ≥0D．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0【解析】以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π，∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．【答案】D3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B.1，－π2C．(1,0)D．(1，π)【解析】由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.【答案】B4．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1【解析】由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2.【答案】B5．在极坐标系中与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为()【导学号：91060008】A．ρcosθ＝12B．ρcosθ＝2C．ρ＝4sinθ＋π3D．ρ＝4sinθ－π3【解析】极坐标方程ρ＝4sinθ化为ρ2＝4ρsinθ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由所给的选项中ρcosθ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．【答案】B二、填空题6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是________．【解析】∵直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.【答案】1∶17．(2016·惠州模拟)若直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝32，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．【解析】直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.【答案】32＋18．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．【解析】极坐标系中的圆ρ＝4sinθ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y＝33x，即3x－3y＝0，∴圆心(0,2)到直线3x－3y＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝3.【答案】3三、解答题9．(2016·银川月考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解】(1)由ρcosθ－π3＝1，得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋32y＝1，即x＋3y－2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N233，π2.(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标0，233.又P为MN的中点，∴点P1，33，则点P的极坐标为233，π6.所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．10．(2016·南通期中)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22，(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．【解】(1)由ρ＝cosθ＋sinθ，可得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，又ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0，由l：ρsinθ－π4＝22，得：22ρsinθ－22ρcosθ＝22，ρsinθ－ρcosθ＝1，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，代入得：x－y＋1＝0.(2)由x－y＋1＝0，x2＋y2－x－y＝0，解得x＝0，y＝1，又ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx，得ρ＝1，tanθ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故为1，π2.[能力提升]1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sinθ－π3关于()A．直线θ＝π3对称B．直线θ＝5π6对称C．点2，π3对称D．极点对称【解析】由方程ρ＝4sinθ－π3，得ρ2＝2ρsinθ－23ρcosθ，即x2＋y2＝2y－23x，配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4.它表示圆心在(－3，1)、半径为2且过原点的圆，所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称．【答案】B2．(2016·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点4，π6作曲线C的切线，则切线长为()A．4B.7C．22D．23【解析】ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为232＋2－22－22＝22.【答案】C3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．【解析】由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其直角坐标方程为x2＋y2＝2y，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立x2＋y2＝2y，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，点(－1,1)的极坐标为2，3π4.【答案】2，3π44．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为2，π3，半径r＝1，P在圆C上运动．(1)求圆C的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．【解】(1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcosθ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－π3＋3＝0.(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋(2y－3)2＝1，则Q的直角坐标方程为x－122＋y－322＝14.