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第一章导数及其应用第一章导数及其应用第一章导数及其应用本章概览导数是高等数学的基础,是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具,因而也是解决诸如运动速度、增长率以及用料最省、利润最大等实际问题的最有力的工具.定积分也是微积分的核心概念之一,自然科学和生产实践中的许多问题,如一般平面图形的面积、变力做功等都可以归结为定积分的问题.第一章导数及其应用本章中,利用丰富的背景和大量实例,学习导数和定积分的基本概念与思想方法;通过导数研究了函数的性质(单调性、极值和最值),解决了生活中的最优化问题等实践活动,并通过应用定积分解决一些简单的几何和物理问题,初步感受导数和定积分在解决数学问题与实际问题中的作用;通过微积分基本定理的学习,初步体会了导数与定积分之间的内在联系.第一章导数及其应用本章的重点有三个:一是利用导数的定义求简单函数的导数,能运用导数公式、运算法则求导数;二是利用导数判断函数的单调性,求函数的极大(小)值和最大(小)值;三是利用导数的方法解决实际应用问题.本章的难点有两个:一是对导数概念的理解、导数方法的应用;二是对定积分的定义、思想方法的认识.第一章导数及其应用第一章导数及其应用1.1.1~1.1.2变化率问题导数的概念第一章导数及其应用第一章导数及其应用1.通过实例,领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程.2.了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数.3.体会导数的思想及其内涵,并能运用.第一章导数及其应用1.平均变化率第一章导数及其应用3.函数f(x)在x=x0处的导数第一章导数及其应用自我校对:第一章导数及其应用1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为()A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)解析:分别写出x=x0和x=x0+Δx对应的函数值f(x0)和f(x0+Δx),两式相减,就得到了函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故应选D.答案:D第一章导数及其应用2.若一质点按规律s=8+t2运动,则在时间段2~2.1中,平均速度是()A.4B.4.1C.0.41D.-1.1答案:B解析:v=ΔsΔt=(8+2.12)-(8+22)2.1-2=2.12-220.1=4.1,故应选B.第一章导数及其应用3.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为()第一章导数及其应用答案:A第一章导数及其应用答案:3-Δx4.已知函数y=f(x)=-x2+x的图象上一点(-1,-2)及邻近一点(-1+Δx,-2+Δy),则ΔyΔx=________.解析:Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-(-2)=-(Δx)2+3Δx,所以ΔyΔx=-(Δx)2+3ΔxΔx=3-Δx,故应填3-Δx.第一章导数及其应用5.求函数y=x2在点x=1处的导数.第一章导数及其应用第一章导数及其应用1.函数的平均变化率的理解定义中的x1,x2是指其定义域内不同的两个数,记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则当Δx≠0时,f(x2)-f(x1)x2-x1=ΔyΔx称作函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率,理解平均变化率应注意以下几点:第一章导数及其应用(1)函数f(x)在x1,x2处有定义;(2)x2是x1附近的任意一点,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可正可负;(3)注意变量的对应,若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是Δy=f(x1)-f(x2);(4)平均变化率可正可负,也可为零.第一章导数及其应用2.根据导数的定义,求函数y=f(x)在x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);第一章导数及其应用3.对导数概念的理解某点导数即为函数在这点的瞬时变化率,含着两层含义:第一章导数及其应用第一章导数及其应用例1已知函数f(x)=2x2+3x-5.(1)求当x1=4,且Δx=1时,函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx;(2)求当x1=4,且Δx=0.1时,函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx;第一章导数及其应用(3)若设x2=x1+Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.[解]f(x)=2x2+3x-5,∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2×x+3×x1-5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.(1)当x1=4,Δx=1时,Δy=2+(4×4+3)×1=21,∴ΔyΔx=211=21;第一章导数及其应用(2)当x1=4,Δx=0.1时,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=0.02+1.9=1.92,∴ΔyΔx=1.920.1=19.2;(3)在(1)题中ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=f(5)-f(4)5-4,它表示抛物线上P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率.在(2)题中,ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=f(4.1)-f(4)4.1-4,它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率.第一章导数及其应用[点拨]求函数f(x)的平均变化率的步骤是:(1)根据x1和x2值写出自变量的增量Δx;(2)由Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)计算函数增量;(3)求出比值ΔyΔx就是函数f(x)由x1变化到x2时的平均变化率.它的几何意义是过图象上两点P1(x1,f(x1))、P2(x2,f(x2))的直线斜率.第一章导数及其应用练1求函数y=2x2+5在区间[2,2+Δx]上的平均变化率;并计算当Δx=12时,平均变化率的值.[解]因为Δy=2×(2+Δx)2+5-(2×22+5)=8Δx+2(Δx)2,所以平均变化率为ΔyΔx=8+2Δx.当Δx=12时,平均变化率的值为8+2×12=9.第一章导数及其应用例2一质点的运动方程为s=8-3t2,其中s表示位移,t表示时间.(1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;(2)求质点在t=1时的瞬时速度.[分析]先求出Δs,再求ΔsΔt,就得到了平均速度;当Δt无限趋近于0时,ΔsΔt的极限即为所求的瞬时速度.第一章导数及其应用[解](1)质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt=8-3(1+Δt)2-8+3×12Δt=-6-3Δt.(2)由(1)知ΔsΔt=-6-3Δt,当Δt无限趋近于0时,limΔt→0ΔsΔt=-6,所以质点在t=1时的瞬时速度为-6.第一章导数及其应用[点拨]本例引导学生理解瞬时速度是物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度ΔsΔt当Δt趋近于0时的极限,即为s对t的导数.对于作匀变速运动的物体来说,其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数,速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数,这是导数的物理意义,利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题.第一章导数及其应用练2以初速度v0(v00)竖直上抛物体,t秒时的高度为s(t)=v0t-12gt2,求物体在时刻t0的瞬时速度.[解]因为Δs=v0(t0+Δt)-12g(t0+Δt)2-(v0t0-12gt20)=(v0-gt0)Δt-12g(Δt)2,所以ΔsΔt=v0-gt0-12gΔt,当Δt趋近于0时,ΔsΔt趋近于v0-gt0,故物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0.第一章导数及其应用[分析]通常以某一具体函数为载体,利用求导的“三步曲”,进行计算.例3求函数y=4x2在x=2处的导数.第一章导数及其应用[解]解法一:(导数定义法)第一章导数及其应用∴f′(2)=y′|x=2=-1.[点拨]根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法.第一章导数及其应用[解]解法一:(导数定义法)练3求函数y=x在x=1处的导数.第一章导数及其应用第一章导数及其应用例4设函数f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.第一章导数及其应用[分析]给出某抽象函数在某点x0处可导的条件,求另一抽象函数在某点x0处的导数,或求另一抽象函数在某点x0处的极限.第一章导数及其应用第一章导数及其应用[点拨]在导数的定义中,增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.利用函数f(x)在x=x0处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式.概念是解决问题的重要依据,只有熟练掌握概念的本质属性,把握其内涵与外延,才能灵活地应用概念进行解题.第一章导数及其应用练4(2008·北京)如下图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f[f(0)]=________;limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=________.(用数字作答)第一章导数及其应用[解析]由图及题中已知可得折线的方程为f(x)=-2(x-2),0≤x≤2,x-2,2x≤6.f(0)=4,f[f(0)]=f(4)=2,∵直线AB和BC的斜率分别为-2和1,∴limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=-2.[答案]2-2第一章导数及其应用分段函数在“分界点”处的导数的求法由于是分段函数,所以“分界点”左、右两侧的函数解析式不同,当自变量x从“分界点”两侧趋近于该点时,ΔyΔx有可能不同,Δx→0时,ΔyΔx的极限也可能不同.第一章导数及其应用第一章导数及其应用只有当函数在某点的左导数、右导数同时存在并且相等时,才能说函数在该点处的导数存在,即函数在该点可导.第一章导数及其应用例5已知函数f(x)=12(x2+1)(x≤1),12(x+1)(x1).判断f(x)在x=1处是否可导.第一章导数及其应用第一章导数及其应用第一章导数及其应用[点拨]判断f(x)在x=1处的左导数、右导数是否同时存在且相等.第一章导数及其应用
本文标题:1-1-1、2导数及其应用
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