【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：2.3 函数的奇偶性与周期性

2.3函数的奇偶性与周期性第二章2.3函数的奇偶性与周期性-2-考纲要求1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-3-1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称想一想你能否找出一个函数,既是奇函数,又是偶函数?答案:f(x)=0,x∈R即可.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-4-2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.对称性若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-5-基础自测1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案解析解析关闭判断f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故选C.答案解析关闭C第二章2.3函数的奇偶性与周期性-6-2.(2013湖南高考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()A.4B.3C.2D.1答案解析解析关闭∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-1)+g(1)=2,即-f(1)+g(1)=2.①f(1)+g(-1)=4,即f(1)+g(1)=4.②由①+②得g(1)=3,故选B.答案解析关闭B第二章2.3函数的奇偶性与周期性-7-3.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上()A.先减后增B.先增后减C.单调递减D.单调递增答案解析解析关闭当m=1时,f(x)=2x+3不是偶函数,当m≠1时,f(x)为二次函数,要使其为偶函数,则其对称轴应为y轴,故需m=0,此时f(x)=-x2+3,其图象的开口向下,所以函数f(x)在(-5,-3)上单调递增.答案解析关闭D第二章2.3函数的奇偶性与周期性-8-4.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x,则f(-2014)+f(2015)的值为()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭f(-2014)+f(2015)=f(0)+f(1)=20+21=3.答案解析关闭C第二章2.3函数的奇偶性与周期性-9-5.若偶函数f(x)是以4为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则f(x)在[0,2]上的单调性是.答案解析解析关闭∵T=4,且在[-6,-4]上单调递减,∴函数在[-2,0]上也单调递减.又f(x)为偶函数,故f(x)的图象关于y轴对称,由对称性知f(x)在[0,2]上单调递增.答案解析关闭单调递增第二章2.3函数的奇偶性与周期性-10-考点一考点二考点三考点一函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=3-x2+x2-3;(2)f(x)=(x+1)1-x1+x;(3)f(x)=4-x2|x+3|-3.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-11-考点一考点二考点三解:(1)由3-𝑥2≥0,𝑥2-3≥0,得x=-3或x=3.∴函数f(x)的定义域为{-3,3}.∵对任意的x∈{-3,3},-x∈{-3,3},且f(-x)=-f(x)=f(x)=0,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.(2)要使f(x)有意义,则1-𝑥1+𝑥≥0,解得-1x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-12-考点一考点二考点三(3)∵4-𝑥2≥0,|𝑥+3|≠3,∴-2≤x≤2且x≠0.∴函数f(x)的定义域关于原点对称.又f(x)=4-𝑥2𝑥+3-3=4-𝑥2𝑥,f(-x)=4-(-𝑥)2-𝑥=-4-𝑥2𝑥,∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-13-考点一考点二考点三方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路:1.定义法第二章2.3函数的奇偶性与周期性-14-考点一考点二考点三2.图象法3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶;(2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶;(3)“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-15-考点一考点二考点三举一反三1下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是()A.y=2|x|B.y=lg(x+x2+1)C.y=2x+2-xD.y=lg1x+1答案解析解析关闭对于D,y=lg1𝑥+1的定义域为{x|x-1},不关于原点对称,是非奇非偶函数.答案解析关闭D第二章2.3函数的奇偶性与周期性-16-考点一考点二考点三考点二函数奇偶性的应用【例2-1】(2013重庆高考)已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=()A.-5B.-1C.3D.4答案解析解析关闭∵log210=1lg2,∴lg(log210)=lg(lg2)-1=-lg(lg2).令g(x)=ax3+bsinx,易知g(x)为奇函数.∵f(lg(log210))=f(-lg(lg2))=g(-lg(lg2))+4=5,∴g(-lg(lg2))=1.∴g(lg(lg2))=-1.∴f(lg(lg2))=g(lg(lg2))+4=-1+4=3.故选C.答案解析关闭B第二章2.3函数的奇偶性与周期性-17-考点一考点二考点三【例2-2】设a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数,则a+b的取值范围为.答案解析解析关闭∵f(x)在(-b,b)上是奇函数,∴f(-x)=lg1-𝑎𝑥1-2𝑥=-f(x)=-lg1+𝑎𝑥1+2𝑥=lg1+2𝑥1+𝑎𝑥,∴1+2𝑥1+𝑎𝑥=1-𝑎𝑥1-2𝑥对x∈(-b,b)成立,可得a=-2(a=2舍去).∴f(x)=lg1-2𝑥1+2𝑥.由1-2𝑥1+2𝑥0,得-12x12.又f(x)定义区间为(-b,b),∴0b≤12,-2a+b≤-32.答案解析关闭-2,-32第二章2.3函数的奇偶性与周期性-18-考点一考点二考点三方法提炼函数奇偶性的应用:1.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数,常常采用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值.3.奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.4.若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.这一结论在解决问题中十分便捷,但若f(x)是偶函数且在x=0处有定义,就不一定有f(0)=0,如f(x)=x2+1是偶函数,而f(0)=1.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-19-考点一考点二考点三举一反三2(1)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)0的解集为()A.{x|x-2,或x4}B.{x|x0,或x4}C.{x|x0,或x6}D.{x|x-2,或x2}(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减.若数列{an}是等差数列,且a30,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负第二章2.3函数的奇偶性与周期性-20-考点一考点二考点三解析:(1)当x≥0时,令f(x)=2x-40,所以x2.又因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)0的解集为{x|x-2,或x2}.将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y=f(x-2)的图象,故f(x-2)0的解集为{x|x0,或x4}.(2)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,函数f(x)单调递减,∴当x0时,函数f(x)亦单调递减,且f(0)=0,∴函数f(x)在R上单调递减,且x≥0时,f(x)≤0;x0时,f(x)0.∵a30,∴f(a3)0.①若等差数列{an}的公差d0,∵f(a1)=f(a3-2d)|f(a3+2d)|=|f(a5)|,∴f(a1)+f(a5)0;同理f(a2)+f(a4)0,∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)0.第二章2.3函数的奇偶性与周期性-21-考点一考点二考点三②若等差数列{an}的公差d=0,则有f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=5f(a3)0.③若等差数列{an}的公差d0,∵f(a5)=f(a3+2d)|f(a3-2d)|=|f(a1)|,∴f(a5)+f(a1)0;同理f(a2)+f(a4)0,∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)0.综上,选A.答案:(1)B(2)A第二章2.3函数的奇偶性与周期性-22-考点一考点二考点三考点三函数的周期性及其应用【例3-1】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-fx+32,且f(1)=3,则f(2014)=.答案解析解析关闭∵f(x)=-f𝑥+32,∴f(x+3)=f𝑥+32+32=-f𝑥+32=f(x).∴f(x)是以3为周期的周期函数.则f(2014)=f(671×3+1)=f(1)=3.答案解析关闭3第二章2.3函数的奇偶性与周期性-23-考点一考点二考点三【例3-2】已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(3)=;f(2019)=.答案解析解析关闭在f(x+6)=f(x)+f(3)中,令x=-3,得f(3)=f(-3)+f(3),即f(-3)=0,又f(x)是R上的奇函数,故f(3)=0.故f(x+6)=f(x),知f(x)是周期为6的周期函数,从而f(2019)=f(6×336+3)=f(3)=0.答案解析关闭00第二章2.3函数的奇偶性与周期性-24-考点一考点二考点三方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形:(1)若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;(2)若满足f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2a是函数的一个周期;(3)若满足f(x+a)=1f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=1f(x+a)=f(x),所以2a是函数的一个周期;(4)若函数满足f(x+a)=-1f(x),同理可得2a是函数的一个周期;(5)如果T是函数y=f(x)的周期,则①kT(k∈Z且k≠0)也是y=f(x)的周