96圆锥曲线的参数方程

1二圆锥曲线的参数方程更上一层楼基础·巩固1直线34yx=1与椭圆91622yx=1相交于A、B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于3，这样的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个思路解析：设P1(4cosα,3sinα),α∈(0,2),则111OBPOAPAOBPSSS=21×4sinα+21×3×4cosα=6(sinα+cosα)=26sin(α+4).当α=4时,AOBPS1的最大值为26,故26261OABABPSS-6＜3.故AB的上方不存在满足题意的点P.又S△OAB=6＞3,所以AB的下方在O与AB之间存在2个点满足要求.答案：B2方程（t为参数）表示的曲线是()A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆思路解析：可把方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它所表示的曲线类型.注意到2t与2-t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项.又注意到2t0，y2-x2=4，∴x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4.∴2t+2-t≥tt222=2，即y≥2.可见与以上参数方程等价的普通方程为y2-x2=4(y≥2).显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支.答案：B3若F1,F2是椭圆162522yx=1的焦点，P为椭圆上不在x轴上的点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为___________________.思路解析：设G(x,y),P(5cosθ,4sinθ),而F1(-3,0),F2(3,0).由重心坐标公式，得3sin4300sin4,3cos533)3(cos5yx(θ为参数).消参，得点G的轨迹方程为16925922yx=1.2答案：16925922yx=14设动直线l垂直于x轴，与椭圆2422yx=1交于A、B两点，P是l上满足|PA||PB|=1的点，求P点的轨迹方程.思路分析：由椭圆的方程可设A、B两点的坐标，代入|PA||PB|=1，可得一参数方程，消参即可得到所求P点的轨迹方程.解：设P(x0,y0),A(2cosθ,2sinθ),B(2cosθ,2sinθ)x0=2cosθ,①由|PA||PB|=1,得y02=2-2cos2θ±1,②由①②消去参数,得y02=2-21x02±1(|x0|≤2).5过抛物线C：y2=2px(p0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，求线段AB中点M的轨迹方程.思路分析：由抛物线的方程可设点A、B的参数方程，然后消参即可求得线段AB中点M的轨迹方程.解：设C的方程为ptyptx2,22(t为参数)且设A(2pt12,2pt1),B(2pt22,2pt2),则有kOAkOB=2122221112222ttptptptpt=-1;设M(x,y)).(),(212221ttpyttpx6求椭圆4922yx=1上一点P与定点(1,0)之间距离的最小值.思路分析：可由椭圆的方程设出点P的坐标，然后代入两点间的距离公式，即转化为三角函数的最值问题.解：设P(3cosθ,2sinθ),则P到定点(1,0)的距离为d(θ)=516)35(cos55cos6cos5)0sin2()1cos3(2222当cosθ=53时,d(θ)取最小值554.7设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A、B两点，在椭圆上求一点P，使△ABP的面积最大.思路分析：因为A、B为两定点,AB为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.解：设椭圆C上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l和定椭圆C截得的弦长为定长,又设P到直线l的距离为d,3则d=515|1)sin22(2cos31||5sin(θ+α)-2|,其中tanα=43.故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+23-α,k∈Z时,d有最大值,这时△ABP的面积最大.∵sinθ=sin(2kπ+23-α)=-cosα=54,cosθ=-sinα=53,∴P(54,518)为所求.8已知抛物线y2=2px(p0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称，求p的取值范围.思路分析：利用抛物线的参数方程设点A、B的坐标分别为(2px12,2px1),(2px22,2px2),关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p的不等式.解：设抛物线上两点A、B的坐标分别为(2px12,2px1),(2px22,2px2),关于直线x+y-1=0对称,则有.1)(2)(2,1)()(212212212221xxpxxpxxpxxp由第二个方程可得x1+x2=1,代入第一个方程得x12+x22=pp1＞0,故0＜p＜1.又由22221xx(221xx)2得pp121,即0＜p＜32为所求.9设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=23，已知点P(0,23)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.思路分析：本题充分把解析几何问题与代数知识紧密结合,在解决该题的过程中无论哪种办法都不可避免地要用到代数相关知识,这也体现了数学学科的特点.该题也可从两个方面去考虑,利用椭圆参数方程与利用普通方程来考虑把问题解决.对于学生灵活应用知识的能力也是一个考查,对于具体问题具体分析,从而解决问题.解：由题设,设椭圆的参数方程为sin,cosbyax(a＞b＞0),∵e=23,∴a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-23)2=a2cos2θ+(bsinθ-23)2=-3b2(sinθ+b21)2+4b2+3,如果b21＞1,b＜21,则当sinθ=-1时,d2有最大值,由题设有(7)2=(b+23)2,b=7-23＞21,与b＜21相矛盾.因此必有b21≤1,于是当sinθ=b21时,d2有最大值,由题设有(7)2=4b2+3,b=1,a=2,所以所求椭圆的参数方程是.sin,cos2yx4消去参数θ得42x+y2=1.由sinθ=-21,cosθ=23得椭圆上的点(3,-21),(3,-21)到点P的距离都是7.10已知双曲线2222byax=1(a0,b0)的动弦BC平行于虚轴，M、N是双曲线的左、右顶点.(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程；(2)若P(x1,y1),B(x2,y2),求证:a是x1、x2的比例中项.思路分析：由题意可知点M的位置是由B、C的位置所决定的,而B、C又是动点,如果将B、C的坐标设为一般的形式,显然很难计算,计算起来很复杂,故在此可考虑将B、C两点坐标设为参数形式,对于此题的计算很有帮助.（1）解：由题意可设点B(asecθ,btanθ),则点C(asecθ-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),∴直线MB的方程为y=aabsectan(x+a),直线CN的方程为aabsectan(x-a).将以上两式相乘得点P的轨迹方程为2222byax=1.（2）证明:因为P既在MB上,又在CN上,由两直线方程消去y1得x1=seca,而x2=asecθ,所以有x1x2=a2,即a是x1、x2的比例中项.11已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)、B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.思路分析：本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试.解：设A、B关于直线l的对称点分别为A1、B1,由对称性知∠A1OB1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程,可设A1(2pt12,2pt1)(t1＜0),B1(2pt22,2pt2),又OA1=OA=1,OB1=OB=8,则有.64)2()2(,1)2()2(2222221221ptptptpt两式相除得21412242tttt=64.又∵1OAk=11t,1OBk=21t,OA1⊥OB1,∴1OAk·1OBk=-1,t1·t2=-1.则可将t2=11t代入上式,得t16=641,t1=-21,故有2p=554,∴A1(452,55).则kAA1=251,kl=251.故所求直线l的方程为y=251x,抛物线方程为y2=554x.512在平面直角坐标系中，有椭圆sin3,cos2ymx(其中θ为参数)和抛物线tytx6,232(其中t为参数).(1)是否存在这样的m值，使得该椭圆与该抛物线有四个不同的交点？请说明理由.(2)当m取何值时，该椭圆与该抛物线的交点与坐标原点的距离等于这个交点与该椭圆中心的距离？思路分析：本题所给的两条曲线都是其参数方程的形式,如果该题直接根据其参数方程来进行计算也许比较麻烦,所以本题可考虑将参数消去,转化为普通方程来求解,从而达到目的.与此同时,本题也是对于学生的函数方面的知识的一个考查.解：（1）将题中的椭圆及抛物线方程分别消参化为普通方程,并联立得方程组)23(6,134)(222xyymx消去y得x2+(8-2m)x+m2-16=0,令f(x)=x2+(8-2m)x+m2-16.由抛物线方程知x≥23,则椭圆与抛物线有四个交点的充要条件是方程f(x)=0在［23,+∞)上有两个不等的实根,即;0228,01623)28()23()23(,0)16(4)28(2222mmmfmm即.211,147,4mmmm或显然此不等式组无解,故满足题设条件的m值不存在.（2）由Δ≥0得m≤4,又知椭圆的半长轴a=2,抛物线的顶点为(23,0),故当-2≤m-23≤2,-21≤m≤27时,椭圆与抛物线必相交.若满足题设条件,可有以下两种情况：①椭圆中心与原点重合,此时m=0；②椭圆与抛物线的交点在椭圆中心与原点所连线段的垂直平分线上,即交点在直线x=2m上,将x=2m代入x2+(8-2m)x+m2-16=0,得m2+16m-64=0,解得m=-8±28（舍去负值）.6综上所述,满足题设条件的m值应为m=0或-8+28.综合·应用13已知椭圆方程为2222byax=1，椭圆长轴的左、右顶点分别为A1、A2，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，且A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程.思路分析：本题为求点的轨迹方程问题，求点的轨迹方程问题用一般方法可以求解，直接寻找点的横、纵坐标间的关系较麻烦，利用参数方程，寻求横、纵坐标间的间接关系，然后消去参数的方法则相对较简单，即消参法求轨迹方程，是求轨迹的一种常用方法.解：设椭圆的参数方程为.sin,cosbyax(θ为参数,且0≤θ2π).则P点坐标为（acosθ,bsinθ），由题意知cosθ≠1，sinθ≠0.∵PAk1=aabcossin,PAk2=aabcossin,∴QAk1=sin)1(cos11bakPA,QAk2=sin)1(cos12bakPA.∴A1Q的方程为y=sin)1(cosba(x+a),①A2Q的方程为y=sin)1(cosba(x-a).②①×②，得y2=2222sin)1(cosba·(x2-a2)=22ba(x2-a2).化简整理，得24222bayax1(λ≠0),即为所求的轨迹方程.14已知定点Q（0，-4）、P（6，0），动点C在椭圆4922yx=1上运动.求△QPC面积的最大值和最小值.思路分析：本题为求最值问题，借助于参数方程，可以把几何的最值问题转化为三角函数的最值问题，从而可利用正弦、余弦的有界性进行求解.解：由题设易求得PQ的方程