费马点--胡不归--阿氏圆问题

2018中考数学冲刺专题系列班别：九年级内容：日期：姓名：地址：内部讲义费马点问题费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一.费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：对于一个各角不超过120的三角形，费马点是对各边的张角都是120的点；对于有一个角超过120的三角形，费马点就是这个内角的顶点.1.“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。若给定一个三角形ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。“费马点”作法图形原理ABC中每一内角都小于120°，在ABC内求一点P，使PAPBPC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外两点之间线段最短．PAPBPC最小值CD．ABC2.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。下面简单说明如何找点P，使它到ABC三个顶点的距离之和PCPBPA最小？这就是所谓的费马点问题.解析：如图所示，把APC绕点A逆时针旋转60，得到''CAP，连接'PP，则'APP为等边三角形，'PPAP,''CPPC，所以，'''CPPBPPPCPBPA.点'C可看成是线段AC绕点A逆时针旋转60而得到的定点，'BC为定长，所以当''CPPB、、、四点在同一直线上时，PCPBPA最小.这时，.12060180180'APPBPA.12060180180'''APPCAPAPC.120120120360360APCBPABPC因此，当ABC的每一个内角都小于120时，所求的点P对三角形每边的张角都是120，可按照如上的办法找到点P；当有一内角大于或等于120时，所求的P点就是钝角的顶点.费马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离之和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.1(广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到CBA、、三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长.解：如图所示，连接AC，把AEC绕点C顺时针旋转60，得到GFC，连接AGBGEF、、，可知EFC、AGC都是正三角形，则AEFGCEEF,,EFBEFGCEBEAE.点B、点G为定点(G为点A绕C顺时针旋转60所得)线段BG即为点E到CBA、、三点的距离之和的最小值，此时FE、两点都在BG上.设正方形的边长为a，那么aCOBO22，aGC2，aGO26.aaGOBOBG2622.点E到CBA、、的距离之和的最小值为62，622622aa，解得2a.2(湖州中考题)若点P为ABC所在平面上一点，且120CPABPCAPB,则点P叫做ABC的费马点.(1)若点P为锐角ABC的费马点，且60ABC，3PA，4PC，则PB的值为._______(2)在锐角三角形ABC的外侧作等边'ACB，连接'BB，求证：'BB过ABC的费马点P，且.'PCPBPABB解：(1)利用相似三角形可求PB的值为32.(2)设点P为锐角ABC的费马点，即120CPABPCAPB如图，把ACP绕点C顺时针旋转60到CEB'，连接PE，则EPC为正三角形.120'APCECB，60PEC.180'PECECB.即'BEP、、三点在同一直线上.同理，BEP、、三点也在同一直线上'BEPB、、、四点在同一直线上，即'BB过ABC的费马点P.又'ACB和EPC为等边三角形PCPE，PAEB'..''PCPBPAPEPBEBBB变式训练：(全国初中联赛)如图所示，在ABC中，60ABC，点P是ABC内的一点，使得CPABPCAPB,且8PA，6PC，则PB的值为._______2018广州二中二模胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。若在驿道上行走的速度为1V，在沙地上行走的速度为2V，即求21VBDVAD的最小值.例题1、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为_______ADBC沙砾地带ABCDP解析：∵正方形ABCD为轴对称图形∴AP=PC∴AP+BP+CP=2AP+BP=)21(2BPAP∴即求BPAP21的最小值接下去就是套路我们要构造一个BP21出来连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AF⊥BE，垂足为F在Rt△PBF中，∵∠PBF=30°∴BPPF21由此我们把BP21构造出来了∴BPAP21的最小值即为AF线段的长∵∠BAE=45°，∠AEB=60°∴解直角△ABE，得AO=BO=2，OE=36，OB=362根据面积法，AE21·BO=BE21·AF求出AF=62（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为PBmnPA的形式（mn＜1）第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=mn第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：(2017广州中考)24.（本小题满分14分）如图13，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,COD关于CD的对称图形为CED（1）求证：四边形OCED是菱形（2）连接AE,若AB=6cm,BC=5cm①EADsin求的值②若点P是线段AE上的一动点（不与A点重合），连接OP,一动点Q从O点出发，以1scm/的速度延线段OP匀速运动到点P,再以scm/5.1的速度沿线段PA匀速到到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需要的时间练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2135lBA练习3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；练习4如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？阿氏圆问题阿氏圆也是形如PBmnPA的形式（mn＜1）最终还是化分为整。概念：又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。例1.在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8,AC=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD、CD，则12BD+AD最小值解析：根据阿氏圆定义CD/BC=1/2为定值，不妨设BC与圆C交与E点取EC中点F,由已知FCCD=CDBC=12,且∠FCD=∠DCB所以△FCD相似于△DCBFD=12BD所以12BD+AD=FD+ADAF由勾股定理可得AF=2√10图1图2阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题练习1练习2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）练习3如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．练习4